1 . 在中，内角，，的对边分别为，，，．
(1)若，证明：；
(2)若，求周长的最大值．

2 . 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且．
(1)求证：；
(2)若的平分线交AC于D，且，求线段BD的长度的取值范围．

3 . 已知函数为奇函数．
(1)求，判断的单调性，并用定义证明；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．

4 . 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，______．
(1)判断的形状，并给出证明；
(2)若点D在边AB上，且，求面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

5 . 如图，梯形中，，．

   

(1)求证：；
(2)若，，求梯形的面积．

6 . 的内角的对边分别为，已知.
(1)证明：；
(2)若是锐角三角形，，求的取值范围.

7 . 如图，圆的半径为3，其中为圆上的两点.

(1)若，当为何值时，与垂直？
(2)若为的重心，直线过点交边于点，交边于点，且.证明：为定值；
(3)若的最小值为1，求的值.

8 . 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
   
(1)求；
(2)若，求证：三点共线.

9 . 在平面直角坐标系中，锐角、的终边分别与单位圆交于、两点．

(1)如果点的纵坐标为，点的横坐标为，求的值；
(2)若角的终边与单位圆交于点，经点、、分别作轴垂线，垂足分别为、、．求证：线段、、能构成一个三角形；
(3)探究第（2）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．