1 . 已知函数，且曲线在点处的切线方程为．
（1）证明：在上为增函数．
（2）证明：．

2 . 已知函数.
（1）若函数在区间内有两个极值点，，求实数的取值范围；
（2）在（1）的基础上，求证：.

3 . 已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）证明：对任意的，不等式恒成立.

4 . 设椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为，椭圆的离心率是，的面积是.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）直线与椭圆交于，两点（异于点），若直线与直线的斜率之和为1，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

5 . 已知函数.
（1）讨论函数的极值点的个数；
（2）若有两个极值点，证明：.

6 . 设为实数，函数．
(1)求的单调区间与极值；
(2)求证：当且时，．

7 . 已知函数，是函数的两个极值点.
（1）求的取值范围.
（2）证明：.

8 . 已知椭圆：的离心率为，焦距为．
（1）求的方程；
（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点（点，均在第一象限），为坐标原点，证明：直线，，的斜率依次成等比数列．

9 . 如图，椭圆经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为.
（l）求椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且直线与交于点，为坐标原点，求证：三点共线．

10 . 已知是抛物线上一点，为的焦点．
（1）若，是上的两点，证明：，，依次成等比数列．
（2）若直线与交于，两点，且，求线段的垂直平分线在轴上的截距．