1 . 已知函数．
(1)若不等式恒成立，求实数a的取值范围；
(2)判断函数的零点的个数

2 . 已知函数，．
(1)求曲线在处切线的斜率；
(2)求函数的极大值；
(3)设，当时，求函数的零点个数．并说明理由．

3 . 已知函数．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求的值；
（Ⅱ）当时，讨论函数的零点个数．

4 . 已知函数.
（1）若曲线在点处的切线的斜率为1.
（ⅰ）求a的值；
（ⅱ）证明：函数在区间内有唯一极值点；
（2）当时，证明：对任意，.

5 . 已知函数.
（I）求证：当时，；
（II）设，.
（i）试判断函数的单调性并证明；
（ii）若恒成立，求实数的最小值.

6 . 已知函数，，.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若曲线在点处的切线与曲线切于点，求的值；
（Ⅲ）若恒成立，求的最大值.

7 . 已知函数， ．
（Ⅰ）若直线 与曲线和分别交于两点.设曲线
在点处的切线为，在点处的切线为.
（ⅰ）当时，若 ，求的值；
（ⅱ）若，求的最大值；
（Ⅱ）设函数在其定义域内恰有两个不同的极值点，，且．
若，且恒成立，求的取值范围．

8 . 已知椭圆的离心率为，且过点．若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交于两点，且两点的“椭点”分别为，以为直径的圆经过坐标原点，试判断的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．