解题方法
1 . 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一,其内容为:如果函数在闭区间上的图象连续不断,在开区间内的导数为,那么在区间内存在点,使得成立.设,其中为自然对数的底数,.易知,在实数集上有唯一零点,且.(1)证明:当时,;
(2)从图形上看,函数的零点就是函数的图象与轴交点的横坐标.直接求解的零点是困难的,运用牛顿法,我们可以得到零点的近似解:先用二分法,可在中选定一个作为的初始近似值,使得,然后在点处作曲线的切线,切线与轴的交点的横坐标为,称是的一次近似值;在点处作曲线的切线,切线与轴的交点的横坐标为,称是的二次近似值;重复以上过程,得的近似值序列.
①当时,证明:;
②根据①的结论,运用数学归纳法可以证得:为递减数列,且.请以此为前提条件,证明:.
(2)从图形上看,函数的零点就是函数的图象与轴交点的横坐标.直接求解的零点是困难的,运用牛顿法,我们可以得到零点的近似解:先用二分法,可在中选定一个作为的初始近似值,使得,然后在点处作曲线的切线,切线与轴的交点的横坐标为,称是的一次近似值;在点处作曲线的切线,切线与轴的交点的横坐标为,称是的二次近似值;重复以上过程,得的近似值序列.
①当时,证明:;
②根据①的结论,运用数学归纳法可以证得:为递减数列,且.请以此为前提条件,证明:.
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2 . 已知,其中,则的取值可以是( )
A. | B. | C. | D. |
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解题方法
3 . 已知为抛物线:的焦点,,,是上三个不同的点,直线,,分别与轴交于,,,其中的最小值为4.
(1)求的标准方程;
(2)的重心位于轴上,且,,的横坐标分别为,,,是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
(1)求的标准方程;
(2)的重心位于轴上,且,,的横坐标分别为,,,是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
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4 . 已知函数.
(1)讨论的零点个数;
(2)若存在两个极值点,记为的极大值点,为的零点,证明:.
(1)讨论的零点个数;
(2)若存在两个极值点,记为的极大值点,为的零点,证明:.
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解题方法
5 . 已知函数.
(1)当时,证明:是增函数.
(2)若恒成立,求的取值范围.
(3)证明:(,).
(1)当时,证明:是增函数.
(2)若恒成立,求的取值范围.
(3)证明:(,).
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2024·上海黄浦·二模
6 . 若函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合,则称该切线为函数的图象的“自公切线”,称这两点为函数的图象的一对“同切点”.
(1)分别判断函数与的图象是否存在“自公切线”,并说明理由;
(2)若,求证:函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”;
(3)设,的零点为,,求证:“存在,使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”.
(1)分别判断函数与的图象是否存在“自公切线”,并说明理由;
(2)若,求证:函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”;
(3)设,的零点为,,求证:“存在,使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”.
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2024·湖南·一模
名校
解题方法
7 . 已知函数.
(1)当时,求函数在处的切线方程;
(2)时;
(ⅰ)若,求的取值范围;
(ⅱ)证明:.
(1)当时,求函数在处的切线方程;
(2)时;
(ⅰ)若,求的取值范围;
(ⅱ)证明:.
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8 . 设函数,有唯一极值点.
(1)证明:;
(2)若,求的取值范围;
(3)若的图象上不存在关于直线对称的两点,证明:.
(1)证明:;
(2)若,求的取值范围;
(3)若的图象上不存在关于直线对称的两点,证明:.
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9 . 已知椭圆,点是椭圆中心与该椭圆一个顶点的中点,点为椭圆与轴正半轴的顶点,且离心率为,过点的直线(与轴不重合)交椭圆于,两点.
(1)求椭圆的标准方程,并求面积的最大值;
(2)探究直线和直线的斜率之积是否为定值?若是,求出这个值,若不是请说明理由;
(3)若圆的方程为,直线,分别交圆于,两点,试证明:直线恒过定点.
(1)求椭圆的标准方程,并求面积的最大值;
(2)探究直线和直线的斜率之积是否为定值?若是,求出这个值,若不是请说明理由;
(3)若圆的方程为,直线,分别交圆于,两点,试证明:直线恒过定点.
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解题方法
10 . 已知为坐标原点,双曲线的焦距为,且经过点.
(1)求的方程:
(2)若直线与交于,两点,且,求的取值范围:
(3)已知点是上的动点,是否存在定圆,使得当过点能作圆的两条切线,时(其中,分别是两切线与的另一交点),总满足?若存在,求出圆的半径:若不存在,请说明理由.
(1)求的方程:
(2)若直线与交于,两点,且,求的取值范围:
(3)已知点是上的动点,是否存在定圆,使得当过点能作圆的两条切线,时(其中,分别是两切线与的另一交点),总满足?若存在,求出圆的半径:若不存在,请说明理由.
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