1 . 已知O为坐标原点，抛物线，过点的直线交抛物线于A，B两点，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点，连接AD，BD，证明：；
(3)已知圆G以G为圆心，1为半径，过A作圆G的两条切线，与y轴分别交于点M，N且M，N位于x轴两侧，求面积的最小值．

2 . 已知函数．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)时；
（ⅰ）若，求的取值范围；
（ⅱ）证明：．

5 . 定义：若函数图象上恰好存在相异的两点满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.
(1)直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；
(2)已知函数求曲线的“双重切线”的方程；
(3)已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：.

6 . 已知双曲线E：的一条渐近线为，左顶点为A，右焦点为，点B，C是双曲线E的右支上相异的两点，直线AB，AC分别与直线l：交于M，N两点，且以线段MN为直径的圆恰过点F．
(1)求双曲线E的标准方程．
(2)求面积的最小值．

7 . 已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)设，若存在两个不同的零点，，且.
（i）证明：；
（ii）证明：.

8 . 已知函数．
(1)若，讨论的单调性．
(2)若，，求证：．

9 . 英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，e为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：
(1)证明：当时，；
(2)证明：对任意的正整数；
(3)证明：e是无理数．

10 . 设函数，.
(1)求函数的单调区间；
(2)若总存在两条直线和曲线与都相切，求的取值范围.