1 . 已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)设，当有两个极值点，时，总有成立，证明：.

2 . 已知函数，
(1)若，求的单调区间；
(2)若是的极小值点，求实数a的取值范围．

3 . 已知函数，.
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)当时，证明：.

4 . 已知函数.
(1)当时，求函数的最小值；
(2)讨论函数极值点的个数.

5 . 已知双曲线的一条渐近线方程的倾斜角为，焦距为4．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)A为双曲线的右顶点，为双曲线上异于点A的两点，且．
①证明：直线过定点；
②若在双曲线的同一支上，求的面积的最小值．

6 . 已知函数，，则下列结论正确的是（       ）

A．当时，函数在上是减函数

B．当时，方程有实数解

C．对任意，，存在唯一极值点

D．对任意，，曲线过坐标原点的切线有两条

7 . 已知函数，.
（1）讨论在上的单调性；
（2）当时，讨论在上的零点个数.

8 . 已知椭圆的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与圆相切于点，且交椭圆于两点，射线于椭圆交于点，设的面积与的面积分别为.
①求的最大值；
②当取得最大值时，求的值.

9 . 已知函数．
（1）若在处导数相等，证明：；
（2）若，证明：对于任意，直线与曲线有唯一公共点．

10 . 已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当，时，对任意，都有成立，求实数的取值范围.