1 . 已知函数.
(1)求函数的极值并画出函数的大致图像；
(2)求证：.

2 . 已知椭圆的右焦点为，短轴长为2.过点且不平行于坐标轴的直线与椭圆交于两点，线段的中点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值；
(3)延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率及四边形的面积.

3 . 如图，已知，分别是双曲线E：的左、右焦点，是E上一点．

(1)求E的方程．
(2)过直线l：上任意一点T作直线，与E的左、右两支相交于A，B两点，直线关于直线l对称的直线为（与不重合），与E的左、右两支相交于C，D两点．证明：．

4 . 已知函数.
(1)若，求函数过点的切线方程;
(2)证明:当时，.

5 . 已知函数．
(1)求函数的最小值；
(2)求证：．

6 . 已知函数．若函数有两个不相等的零点．
(1)求a的取值范围；
(2)证明：．

7 . 已知椭圆的离心率为，且椭圆的短轴长为．
(1)求椭圆的方程．
(2)设是椭圆上第一象限内的一点，是椭圆的左顶点，是椭圆的上顶点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点．记的面积为，的面积为．证明：为定值．

8 . 已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若在上恒成立，求证：.

9 . 设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，，分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求直线的方程；
(3)已知直线斜率存在，若是椭圆经过原点的弦，且，求证：为定值．

10 . 设抛物线的焦点为，点，过的直线交于，两点．当直线垂直于轴时，．
(1)求的方程；
(2)若点，，过点A的动直线交抛物线于、，直线交抛物线于另一点，连接并延长交抛物线于点S．证明直线与直线的斜率之和为定值．