解题方法
1 . 在三棱台ABC－A1B1C1中，C1C⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=BC=C1C=2A1B1，O为AC的中点，P是C1C的中点.
(1)证明：平面A1BC⊥平面POB；
(2)求二面角B1－A1B－C的余弦值.
(1)证明：平面A1BC⊥平面POB；
(2)求二面角B1－A1B－C的余弦值.
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名校
2 . 2021年6月17日，神舟十二号载人飞船顺利升空并于6.5小时后与天和核心舱成功对接，这是中国航天史上的又一里程碑，我校南苍穹同学既是航天迷，又热爱数学，于是他为正在参加期末检测的你们编就了这道题目，如图，是神舟十二号飞船推进舱及其推进器的简化示意图，半径相等的圆
与圆柱
底面相切于
四点，且圆
与
与
与
与分别外切，线段
为圆柱的母线.点
为线段
中点，点
在线段
上，且
.已知圆柱
，底面半径为
.
（1）求证：
平面
；
（2）线段
上是否存在一点
，使得
平面
若存在，请求出
的长，若不存在，请说明理由；
（3）求二面角
的余弦值；
（4）如图，是飞船推进舱与即将对接的天和核心舱的相对位置的简化示意图.天和核心舱为底面半径为2的圆柱
，它与飞船推进舱共轴，即
共线.核心舱体两侧伸展出太阳翼，其中三角形
为以
为斜边的等腰直角三角形，四边形
为矩形.已知推进舱与核心舱的距离为4，即
，且
，
.在对接过程中，核心舱相对于推进舱可能会相对作出逆时针旋转的运动，请你求出在舱体相对距离保持不变的情况下，在舱体相对旋转过程中，直线
与平面所成角的正弦值的最大值.
与圆柱底面相切于四点，且圆与与与与分别外切，线段为圆柱的母线.点为线段中点，点在线段上，且.已知圆柱，底面半径为.（1）求证：
平面；（2）线段
上是否存在一点，使得平面若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由；（3）求二面角
的余弦值；（4）如图，是飞船推进舱与即将对接的天和核心舱的相对位置的简化示意图.天和核心舱为底面半径为2的圆柱
，它与飞船推进舱共轴，即共线.核心舱体两侧伸展出太阳翼，其中三角形为以为斜边的等腰直角三角形，四边形为矩形.已知推进舱与核心舱的距离为4，即，且，.在对接过程中，核心舱相对于推进舱可能会相对作出逆时针旋转的运动，请你求出在舱体相对距离保持不变的情况下，在舱体相对旋转过程中，直线与平面所成角的正弦值的最大值.
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名校
解题方法
3 . 如图，四棱锥
中，底面
为矩形，
平面，为
的中点.
（1）证明：
平面
；
（2）若
，
，
，求二面角
的平面角的余弦值.
中，底面为矩形，平面，为的中点.（1）证明：
平面；（2）若
，，，求二面角的平面角的余弦值.
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2020-04-16更新
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1115次组卷
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4卷引用：2020届中原金科大联考高三4月质量检测数学（理）试题
4 . 如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且
．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；
（Ⅲ）设点G在PB上，且
．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；
（Ⅲ）设点G在PB上，且
．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
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2019-06-09更新
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20352次组卷
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78卷引用：2019年北京市高考数学试卷（理科）
2019年北京市高考数学试卷（理科）（已下线）专题04 立体几何——2019年高考真题和模拟题理科数学分项汇编（已下线）专题8.6 空间直角坐标系、空间向量及其运算（练）-浙江版《2020年高考一轮复习讲练测》福建省泉州市永春一中2018-2019学年高一下学期期末数学试题天津市南开中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学试题2020届北京市建华实验学校高三阶段测试数学试题（已下线）专题06 立体几何（解答题）——三年（2018-2020）高考真题理科数学分项汇编（已下线）专题18 解析几何综合-五年（2016-2020）高考数学（理）真题分项（已下线）专题17 立体几何综合-五年（2016-2020）高考数学（理）真题分项人教A版(2019) 选择性必修第一册 必杀技 第一章 空间向量与立体几何 素养检测人教B版(2019) 选择性必修第一册 必杀技 第一章 空间向量与立体几何 素养检测人教B版(2019) 选择性必修第一册 过关斩将 第一章 空间向量与立体几何 1.1-1.2 综合拔高练人教A版(2019) 选择性必修第一册 过关斩将 第一章 空间向量与立体几何 1.4 综合拔高练（已下线）考点23 运用空间向量解决立体几何问题-2021年高考数学三年真题与两年模拟考点分类解读（新高考地区专用）（已下线）专题16 立体几何-2020年高考数学母题题源解密（北京专版）福建省南安市侨光中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段考试数学试题（已下线）专题8.6 空间向量及其运算和空间位置关系（练）-2021年新高考数学一轮复习讲练测（已下线）专题8.8 翻折与探索性问题（精讲）-2021年高考数学(理)一轮复习讲练测广西南宁市第四中学2020-2021学年高二10月段考数学试题北京师范大学附属实验中学2020-2021学年高二数学12月月考试题甘肃省民乐县第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试（4部）数学（理）试题（已下线）专题09 立体几何（测）-2021年高考数学二轮复习讲练测（新高考版）（已下线）专题10 立体几何线面位置关系及空间角的计算 第一篇 热点、难点突破篇（练）-2021年高考数学二轮复习讲练测（浙江专用）（已下线）专题15 运用空间向量研究立体几何问题-2021年高考数学二轮优化提升专题训练（新高考地区专用）【学科网名师堂】（已下线）专题07 立体几何中的向量方法-备战2021届高考数学（理）二轮复习题型专练?（通用版）（已下线）解密07 空间几何中的向量方法（讲义）-【高频考点解密】2021年新高考数学二轮复习讲义+分层训练（已下线）专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示-2020-2021学年高二数学同步课堂帮帮帮（人教A版2019选择性必修第一册）安徽省淮北市2021届高三二模数学（理）试题（已下线）数学-2021年高考考前20天终极冲刺攻略（二）（新高考地区专用）【学科网名师堂】（5月26日）四川省内江市2021届高三第三次模拟数学（理）试题江苏省镇江中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题北师大版(2019) 选修第一册 必杀技 第三章 素养检测安徽省安庆市九一六学校2020-2021学年高一下学期5月月考数学试题（已下线）专练10 立体几何拔高练-2021-2022学年高二数学上册同步课后专练（人版A版选择性必修第一册）江苏省南京市田家炳高级中学2020-2021学年高三上学期10月月考数学试题北师大版(2019) 选修第一册 突围者 第三章 章末培优专练（已下线）专题8.6 空间向量及其运算和空间位置关系（练）- 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（已下线）专题10 立体几何-五年（2017-2021）高考数学真题分项（新高考地区专用）（已下线）专题01 通过空间向量解决立体几何中的角度问题（解答题专练）-【重难点突破】2021-2022学年高二数学上册常考题专练（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）考向36 立体几何中的向量方法北京市东直门中学2022届高三上学期期中考试数学试题广东省广州中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题上海市行知中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题人教B版(2019) 选修第一册 过关检测 第一章 专项把关练（已下线）2020年高考全国3数学理高考真题变式题16-20题（已下线）热点08 立体几何-2022年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）（已下线）专题09立体几何线面位置关系及面积体积计算问题（讲）--第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考数学二轮复习讲练测（新高考·全国卷）》上海市2022届高三二模数学试题江苏省常州市第一中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题（已下线）1.4空间向量的应用C卷江苏省镇江市扬中市第二高级中学2022届高三下学期高考前热身数学试题2023版 湘教版(2019) 选修第二册 过关斩将 第2章 综合拔高练沪教版(2020) 选修第一册 精准辅导 第3章 3.4（4）求角的大小（第2课时）（已下线）专题16 空间向量及其应用（练习）-2江苏省徐州市第七中学2022-2023学年高三上学期9月摸底考试数学试题北京市朝阳区北京中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题福建省福州第三中学2023届高三上学期第四次质量检测数学试题（已下线）期中模拟预测卷01（测试范围：空间向量与立体几何、数列） -2022-2023学年高二数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版2020必修第三册+选修一）湖北省问津联合体2022-2023学年高二上学期11月期中联考数学试题（已下线）模拟卷04北京市第十五中学2023届高三上学期12月月考数学试题河北省承德市双滦区实验中学2022-2023学年高二下学期开学摸底数学试题（已下线）专题24 空间向量与空间角的计算-十年（2011-2020）高考真题数学分项宁夏回族自治区银川一中2023届高三第一次模拟考试数学（理）试题（已下线）重组卷04北京市石景山区京源学校2022届高三高考数学适应性试题江苏省镇江市扬中市第二高级中学2022-2023学年高三下学期考前考前热身数学试题北京十年真题专题07立体几何与空间向量福建省漳州立人学校2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题（已下线）第五篇 向量与几何 专题18 空间点线面问题 微点1 空间点线面问题上海市嘉定区封浜高级中学2022-2023学年高二上学期11月期中数学试题上海市南汇中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（已下线）考点13 立体几何中的探究问题 2024届高考数学考点总动员【讲】（已下线）专题08 空间向量基底法在立体几何问题中的应用4种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)（已下线）第二章 立体几何中的计算 专题一 空间角 微点7 二面角大小的计算（二）【基础版】（已下线）专题06 立体几何 第一讲 立体几何中的证明问题（分层练）（已下线）通关练05 空间向量与立体几何近五年高考真题4考点精练（30题）- 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)（已下线）专题23 立体几何解答题（理科）-3
名校
解题方法
5 . 如图，在四面体
中，，
分别是线段
，
的中点，
，
，
，直线
与平面
所成的角等于
．
（1）证明：平面
平面
；
（2）求二面角
的余弦值．
中，，分别是线段，的中点，，，，直线与平面所成的角等于．（1）证明：平面
平面；（2）求二面角
的余弦值．
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2019-03-02更新
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6565次组卷
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19卷引用：【校级联考】河北省五个一名校联盟2019届高三下学期第一次诊断考试数学（理）试题
【校级联考】河北省五个一名校联盟2019届高三下学期第一次诊断考试数学（理）试题江西省吉安市第一中学、新余一中2019届高三下学期第一次联考数学（理）试题【全国百强校】四川省成都外国语学校2018-2019学年高二3月月考数学（理）试题【全国百强校】黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高二下学期第二次月考数学（理）试题广东省深圳市宝安区2018-2019学年高二下学期期末考试数学理试卷甘肃省白银市会宁县会宁县第一中学2019-2020学年高二上学期期末数学（理）试题2020届山西省大同四中联盟体高三3月模拟考试数学（理）试题（已下线）必刷卷07-2020年高考数学必刷试卷（新高考）【学科网名师堂】-《2020年新高考政策解读与配套资源》2020届山西省大同市第一中学高三2月模拟（一）数学（理）试题安徽省滁州市明光中学2019-2020学年高二下学期开学考试数学(理)试题（已下线）卷07-2020年高考数学冲刺逆袭必备卷（山东、海南专用）【学科网名师堂】陕西省渭南市大荔县2018-2019学年高二下学期转段考试数学(理)试题河北省石家庄市第二中学2020-2021学年高二上学期8月线上考试（一）数学试题江西省赣州市赣县第三中学2019-2020学年高二6月份考试数学（理）试题（已下线）【新东方】杭州新东方高中数学试卷353河南省洛阳市新安县第一高级中学2020-2021学年第一学期高二月考数学试题宁夏吴忠市吴忠中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学（理）试题山西省大同一中2020-2021学年高二上学期期中理科数学试题安徽省淮南市2019-2020学年高二上学期期终教学质量检测理科数学试题
名校
6 . 如图，矩形
和菱形
所在的平面相互垂直，
，
为
的中点.
(Ⅰ)求证：
平面
；
(Ⅱ) 求
，
，求二面角
的余弦值.
和菱形所在的平面相互垂直，，为的中点.(Ⅰ)求证：
平面；(Ⅱ) 求
，，求二面角的余弦值.
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2019-02-15更新
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2281次组卷
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9卷引用：【市级联考】四川省攀枝花市2019届高三第一次统一考试理科数学试题
【市级联考】四川省攀枝花市2019届高三第一次统一考试理科数学试题【市级联考】四川省攀枝花市2019届高三第一次统考理数试题【全国百强校】四川省棠湖中学2019届高三上学期第三次月考数学（理）试题【市级联考】陕西省汉中市2018-2019学年高二第一学期期末校际联考数学（理科）试题【市级联考】湖南省岳阳市2019届高三第二次模拟考试数学（理）试题福建省漳平市第一中学2019-2020学年高三上学期第二次月考试题 数学（理） 试题（已下线）专题23 空间角与距离-冲刺2020高考跳出题海之高三数学模拟试题精中选萃2020届贵州省铜仁市高三第二次模拟考试试卷理科数学试题贵州省凯里市第一中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题
7 . 如图，平面
平面
，其中
为矩形，为直角梯形，
，
，
．
（1）求证：平面
平面
；
（2）若三棱锥
体积为
，求
与面
所成角的正弦值．
平面，其中为矩形，为直角梯形，，，．（1）求证：平面
平面；（2）若三棱锥
体积为，求与面所成角的正弦值．
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2019-01-11更新
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691次组卷
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3卷引用：【市级联考】湖南省株洲市2019届高三教学质量统一检测（一）数学（文科）试题
名校
8 . 如图，在空间四边形OABC中，已知E是线段BC的中点，G在AE上，且
．
试用向量
，
，
表示向量
；
若
，
，
，
，求
的值．
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2018-12-13更新
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2345次组卷
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8卷引用：【市级联考】江苏省泰州市2017-2018学年高二（下）期末考试数学试题
【市级联考】江苏省泰州市2017-2018学年高二（下）期末考试数学试题人教B版(2019) 选择性必修第一册 过关斩将 第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.2 空间向量基本定理（已下线）专题1.1 空间向量与空间向量基本定理（B卷提升篇）-2020-2021学年高二数学选择性必修第一册同步单元AB卷（新教材人教A版，浙江专用）（已下线）第一章 空间向量与立体几何综合能力检测-2021-2022学年高二数学尖子生同步培优题典（人教A版2019选择性必修第一册）广东省广州市番禺区禺山中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题安徽省宣城中学2021-2022学年高二下学期开学考试数学试题福建省三明市五校协作2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题（已下线）模块三 专题2 解答题分类练 专题3 空间向量线性运算（苏教版）
名校
9 . 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝
，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝2.
(1)求证：AB1∥平面BC1D；
(2)求异面直线AB1与BC1的夹角．
，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝2.(1)求证：AB1∥平面BC1D；
(2)求异面直线AB1与BC1的夹角．
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2018-11-08更新
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1308次组卷
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20卷引用：吉林省汪清县第六中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学（理）试题
吉林省汪清县第六中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学（理）试题2018秋人教A版高中数学选修2-1第三章测评（已下线）章末质量检测2 空间向量与立体几何-2018年数学同步优化指导（北师大版选修2-1）江苏省南通市南通第一中学2019-2020学年高二上学期期中抽测（二）数学试题第一章+空间向量与立体几何(能力提升)-2020-2021学年高二数学单元测试定心卷(人教B版2019选择性必修第一册)福建省福州市福清西山学校高中部2020-2021学年高二12月月考数学试题辽宁省辽东南协作体2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题山东省潍坊市潍坊第四中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题河北省衡水市第十四中学2021-2022学年高二上学期二调数学试题河北省保定市顺平县中学2021-2022学年高二上学期第三次月考数学试题沪教版(2020) 选修第一册 单元训练 第3章 空间向量在立体几何体中的应用（B卷）山东省济南市实验中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题山东省潍坊市临朐县实验中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题山东省潍坊市昌邑市第一中学2022-2023学年高二上学期10月摸底考试数学试题甘肃省白银市白银区大成学校2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题宁夏固原市第五中学2022-2023学年高二下学期第二次月考数学（理）试题第三章空间向量与立体几何单元测试 2021-2022学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册安徽省安庆九一六学校2022-2023学年高二上学期9月月考数学试题湖南省常德市汉寿县第五中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题内蒙古呼伦贝尔市满洲里远方中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题
10 . 如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,△ABC是直角三角形,且PA=AB=AC.又平面QBC垂直于底面ABC.
(1)求证:PA∥平面QBC;
(2)若PQ⊥平面QBC,求锐二面角Q-PB-A的余弦值.
(1)求证:PA∥平面QBC;
(2)若PQ⊥平面QBC,求锐二面角Q-PB-A的余弦值.
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2018-10-09更新
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721次组卷
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2卷引用：2018秋人教A版高中数学选修2-1第三章测评
