1 . 若关于x的不等式
恒成立，则实数m的最大值为（ ）
恒成立，则实数m的最大值为（ ）A． | B． | C． | D． |
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解题方法
2 . 给定自然数
且
，设
均为正数，
（
为常数），
.如果函数
在区间
上恒有
，则称函数为凸函数.凸函数具有性质：
.
(1)判断
，
是否为凸函数，并证明；
(2)设
，证明：
；
(3)求
的最小值.
且，设均为正数，（为常数），.如果函数在区间上恒有，则称函数为凸函数.凸函数具有性质：.(1)判断
，是否为凸函数，并证明；(2)设
，证明：；(3)求
的最小值.
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解题方法
3 . 一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂， 并只受重力的影响，这个项链形成的曲 线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰・伯努利等得到“悬链线”方程 
，其中
为参数.当
时，就是双曲余弦函数
，类似地双曲正弦函数 
，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比三角函数的三个性质：
①倍角公式
；
②平方关系
；
③求导公式
写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；
(2)当
时，双曲正弦函数
图象总在直线
的上方，求实数
的取值范围；
(3)若
，证明：
，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地双曲正弦函数 ，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.(1)类比三角函数的三个性质：
①倍角公式
；②平方关系
；③求导公式
写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；
(2)当
时，双曲正弦函数图象总在直线的上方，求实数的取值范围；(3)若
，证明：
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4 . 若曲线C的切线l与曲线C共有n个公共点（其中
，
），则称l为曲线C的“
”.
(1)若曲线
在点
处的切线为
，另一个公共点的坐标为
，求
的值；
(2)求曲线
所有
的方程；
(3)设
，是否存在
，使得曲线在点
处的切线为
？若存在，探究满足条件的t的个数，若不存在，说明理由．
，），则称l为曲线C的“”.(1)若曲线
在点处的切线为，另一个公共点的坐标为，求的值；(2)求曲线
所有的方程；(3)设
，是否存在，使得曲线在点处的切线为？若存在，探究满足条件的t的个数，若不存在，说明理由．
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5 . 已知函数
(1)当
时，求的零点；
(2)若恰有两个极值点，求
的取值范围.
(1)当
时，求的零点；(2)若
恰有两个极值点，求的取值范围.
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2024-05-29更新
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332次组卷
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3卷引用：2024届青海省西宁市大通县高考四模数学（理）试卷
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解题方法
6 . 泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式.当在
处的
阶导数都存在时，它的公式表达式如下：
.注：
表示函数在原点处的一阶导数，
表示在原点处的二阶导数，以此类推，
表示在原点处的阶导数.
(1)根据公式估算
的值，精确到小数点后两位；
(2)当时，比较
与
的大小，并证明；
(3)设
，证明：
.
在处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：.注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，表示在原点处的阶导数.(1)根据公式估算
的值，精确到小数点后两位；(2)当
时，比较与的大小，并证明；(3)设
，证明：.
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7 . 设
，则
大小关系（ ）
，则大小关系（ ）A． | B． | C． | D． |
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8 . 已知函数
．
(1)讨论的零点个数；
(2)若存在两个极值点，记
为的极大值点，
为的零点，证明：
．
．(1)讨论
的零点个数；(2)若
存在两个极值点，记为的极大值点，为的零点，证明：．
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解题方法
9 . 关于x的方程
有实根，则
的最小值为______ ．
有实根，则的最小值为
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10 . 极值的广义定义如下：如果一个函数在一点的一个邻域（包含该点的开区间）内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值.
对于函数，设自变量x从变化到
，当
，
是一个确定的值，则称函数在点处右可导；当
，是一个确定的值，则称函数在点处左可导.当函数在点处既右可导也左可导且导数值相等，则称函数在点处可导.
(1)请举出一个例子，说明该函数在某点处不可导，但是该点是该函数的极值点；
(2)已知函数
.
（ⅰ）求函数
在处的切线方程；
（ⅱ）若为的极小值点，求a的取值范围.
对于函数
，设自变量x从变化到，当，是一个确定的值，则称函数在点处右可导；当，是一个确定的值，则称函数在点处左可导.当函数在点处既右可导也左可导且导数值相等，则称函数在点处可导.(1)请举出一个例子，说明该函数在某点处不可导，但是该点是该函数的极值点；
(2)已知函数
.（ⅰ）求函数
在处的切线方程；（ⅱ）若
为的极小值点，求a的取值范围.
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