1 . 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划再修建一条连接两条公路、贴近山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为，计划修建的公路为，如图所示．已知M，N为的两个端点，点到的距离分别为20千米和5千米，点到的距离分别为4千米和25千米，分别以所在的直线为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy．假设曲线符合函数（其中a，k为常数）模型．

(1)求a，k的值；
(2)设公路与曲线相切于点，点的横坐标为．
①求公路所在直线的方程；
②当为何值时，公路的长度最短?求如最短长度．

2 . 已知数列满足:，且对任意，都有．
(1)直接写出的值;
(2)猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．

3 . 已知函数．
(1)求在处的切线方程;
(2)求的单调区间和极值．

4 . 已知函数，.
(1)证明：；
(2)求函数的单调区间.

5 . 设函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若已知，且的图象与相切，求b的值；
(3)在（2）的条件下，的图象与有三个公共点，求m的取值范围（不写过程）．

6 . 已知函数，（）．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，请判断的单调性．

7 . 已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间.

8 . 设函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，当时，求证：.
(3)若函数在区间上存在唯一零点，求实数m的取值范围.

9 . 已知函数．
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)证明：当时，．

10 . 已知函数，．
(1)求证：，恒成立；
(2)若存在极值，求a的取值范围；
(3)若时，成立，求a的取值范围．