1 . 设函数
(1)若，求极小值.
(2)讨论函数的单调性；
(3)若，是函数的两个零点，且，求的最小值.

2 . 若满足对任意的实数都有，且，则下列判断正确的有（       ）

A．是奇函数

B．在定义域上单调递增

C．当时，函数

D．

3 . 已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若方程的两根互为相反数.
①求实数的值；
②若，且，证明：.

4 . 已知函数.
(1)若，判断在上的单调性，并说明理由；
(2)当，探究在上的极值点个数.

5 . 已知函数（其中为实数）．
(1)若，证明：；
(2)探究在上的极值点个数．

6 . 如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在侧面及其边界上运动，下列命题：①当时，异面直线与所成角的正切值为2；②当点到平面的距离等于到直线的距离时，点的轨迹为拋物线的一部分；③存在点P满足；④满足的点P的轨迹长度为；其中真命题的个数为（       ）

A．1

B．2

C．3

D．4

7 . 椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求面积的最大值；
(3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

8 . 已知，，，则（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 已知函数．
(1)若对时，，求正实数a的最大值；
(2)证明：；
(3)若函数的最小值为m，证明：方程有唯一的实数根，（其中是自然对数的底数）

10 . 已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若存在两个不同的零点，且.求证：.