1 . 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与交于两点，直线与轴分别交于两点．若，试探究是否为定值？若为定值，求出此定值；否则，请说明理由．

2 . 如图，是直角斜边上一点，，记，.

（1）求证：；
（2）若，求的面积．

3 . 已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）对于任意的正实数，且，若恒成立，求实数的取值范围．

4 . 已知抛物线，点都在抛物线上．
（1）若点点的纵坐标之和为2，求直线的斜率；
（2）若直线均过定点，且分别为的中点，证明：直线过定点．

5 . 如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为．

（1）证明：与底面平行；
（2）已知为上的点，且，求三棱锥的体积．

6 . 在数列中，．
（1）设，求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．

7 . 已知函数，．
（1）若函数在区间内的单调递增，求的取值范围；
（2）证明：对任意，．

8 . 市教育局计划举办某知识竞赛，先在，，，四个赛区举办预赛，每位参赛选手先参加“赛区预赛”，预赛得分不低于100分就可以成功晋级决赛．赛区预赛的具体规则如下：每位选手可以在以下两种答题方式中任意选择一种答题．方式一：每轮必答2个问题，共回答6轮，每轮答题只要不是2题都错，则该轮次中参赛选手得20分，否则得0分，各轮答题的得分之和即为预赛得分；方式二：每轮必答3个问题，共回答4轮，在每一轮答题中，若答对不少于2题，则该轮次中参赛选手得30分，如果仅答对1题，则得20分，否则得0分．各轮答题的得分之和即为预赛得分．记某选手每个问题答对的概率均为．
（1）若，求该选手选择方式二答题晋级的概率；
（2）证明：该选手选择两种方式答题的得分期望相等．

9 . 如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且、、、四点共面．

（1）证明：平面平面；
（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

10 . 已知函数，不等式的解集为A.
（1）求A；
（2）当a，时，证明：.