1 . 已知函数，，令
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)当a为正数且时，，求a的最小值；
(3)若对一切都成立，求a的取值范围.

2 . 有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边长为6分米，另一边足够长.现从中截取矩形（如图甲所示），其中是以为圆心，的扇形，且弧分别与边相切于点.剪去图中的阴影部分，剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计）.

(1)当长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；
(2)当的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？

3 . 已知抛物线的焦点为，过点倾斜角为的直线交抛物线与两点.点在轴上方，点在轴下方.

(1)求证：；
(2)若，试求的取值范围；
(3)如图，过焦点作互相垂直的弦，若与的面积之和最小值为32，求抛物线的方程.

4 . 已知数列满足.
(1)若，求最小正数的值，使数列为等差数列；
(2)若，求证：；
(3)对于（2）中的数列，求证：

5 . 学校要建造一个面积为10000平方米的运动场. 如图，运动场由一个矩形和分别以、为直径的两个半圆组成. 跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其它地方均铺设草皮. 已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元.

(1)设半圆的半径（米），试建立塑胶跑道面积与的函数关系式；
(2)由于条件限制，问当取何值时，运动场造价最低?（精确到元）.

6 . 已知函数和的表达式分别为，，设，现有如下四个命题：
①对任意实数，且，都有；   
②存在实数，且，都有；
③存在实数，且，都有；
④对任意实数,存在，，且，使得.
其中的真命题有______.（写出所有真命题的序号）

7 . 已知，是的导函数.则当时，函数的值域是________.

8 . 无论我们对函数求多少次导数，结果仍然是它本身；这就像我们在生活中无论遇到多少艰难险阻，都要不忘初心，坚持自我，按照自己制定的目标，奋勇前行！已知函数，则________.

9 . 已知为实数，．对于给定的一组有序实数，若对任意，，都有，则称为的“正向数组”．
(1)若，判断是否为的“正向数组”，并说明理由；
(2)证明：若为的“正向数组”，则对任意，都有；
(3)已知对任意，都是的“正向数组”，求的取值范围．

10 . 已知函数．
(1)当时，求在处的切线的斜率；
(2)当时，求函数的单调递增区间；
(3)记函数的图像为曲线，设点是曲线上两个不同点，如果曲线上存在，满足：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”．试问：函数是否存在中值相依切线，说明理由．