名校
解题方法
1 . 已知函数
．
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)
时；
（ⅰ）若
，求
的取值范围；
（ⅱ）证明：
．
．(1)当
时，求函数在处的切线方程；(2)
时；（ⅰ）若
，求的取值范围；（ⅱ）证明：
．
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解题方法
2 . 罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的．它的表达如下：如果函数
满足在闭区间
连续，在开区间
内可导，且
，那么在区间内至少存在一点
，使得
．
(1)运用罗尔定理证明：若函数在区间
连续，在区间上可导，则存在
，使得
．
(2)已知函数
，若对于区间
内任意两个不相等的实数
，都有
成立，求实数
的取值范围．
(3)证明：当
时，有
．
满足在闭区间连续，在开区间内可导，且，那么在区间内至少存在一点，使得．(1)运用罗尔定理证明：若函数
在区间连续，在区间上可导，则存在，使得．(2)已知函数
，若对于区间内任意两个不相等的实数，都有成立，求实数的取值范围．(3)证明：当
时，有．
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3 . 已知
为正实数，构造函数
．若曲线
在点
处的切线方程为
．
(1)求
的值；
(2)求证：
．
为正实数，构造函数．若曲线在点处的切线方程为．(1)求
的值；(2)求证：
．
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4 . 已知函数
是定义在
上的连续函数，且在定义域上处处可导，
是的导函数，且
，则（ ）
是定义在上的连续函数，且在定义域上处处可导，是的导函数，且，则（ ）A． | B． |
C． | D． |
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5 . 已知函数
，其中
为自然对数的底数.
(1)求函数的单调区间；
(2)证明：
；
(3)设
，若存在实数
使得
，求的最大值.
，其中为自然对数的底数.(1)求函数
的单调区间；(2)证明：
；(3)设
，若存在实数使得，求的最大值.
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6 . 已知
，
. 若存在
，
，使得
成立，则下列结论正确的是（ ）
，. 若存在，，使得成立，则下列结论正确的是（ ）A．函数 在 处的切线与函数在 处的切线重合 |
B．当 时， |
C．当时， |
D．若 恒成立，则 |
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7 . 已知函数
，
.
(1)当时，求的单调区间；
(2)当
时，记的极小值点为，证明：存在唯一零点
，且
.（参考数据：
）
，.(1)当
时，求的单调区间；(2)当
时，记的极小值点为，证明：存在唯一零点，且.（参考数据：）
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2024-04-03更新
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565次组卷
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2卷引用：湖南省湘潭市2024届高三下学期3月质量检测数学试题
8 . 已知数列
满足
，
，且
．
(1)证明
为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设
，且数列
的前
项和为
，证明：当
时，
．
满足，，且．(1)证明
为等比数列，并求数列的通项公式；(2)设
，且数列的前项和为，证明：当时，．
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2024-03-21更新
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1712次组卷
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4卷引用：湖南省衡阳市第八中学2024届高三下学期高考适应性练习卷（三）数学试题
湖南省衡阳市第八中学2024届高三下学期高考适应性练习卷（三）数学试题广东省佛山市禅城区2024届高三统一调研测试（二）数学试题（已下线）第17题 数列不等式变化多端，求和灵活证明方法多（优质好题一题多解）（已下线）专题2 奇偶分项 分组并项 练（经典好题母题）
9 . 已知函数
存在两个极值点，且极大值点为．
(1)求a的取值范围；
(2)若函数最大的零点为
，求证：
．
存在两个极值点，且极大值点为．(1)求a的取值范围；
(2)若函数
最大的零点为，求证：．
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10 . 已知函数
是自然对数的底数，
.
(1)当时，求函数的零点个数；
(2)当时，证明：
；
(3)证明：若
，则
.
是自然对数的底数，.(1)当
时，求函数的零点个数；(2)当
时，证明：；(3)证明：若
，则.
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