1 . 如图，在三棱锥中，，，E为PC的中点，点F在PA上，且平面，．

(1)若平面，求；
(2)若，求平面与平面夹角的正弦值．

2 . 在三棱锥中，平面，是等腰直角三角形，，，，垂足为H，D为的中点，则当的面积最大时，_________.

3 . 如图，在三棱锥中，平面PAB，E，F分别为BC，PC的中点，且，，．

   

(1)证明：平面．
(2)求二面角的余弦值．

4 . 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面与底面所成的角为，为的中点．

(1)求证：平面；
(2)若为的内心，求直线与平面所成角的正弦值．

5 . 如图，在四棱锥中，平面，，，．
   
(1)求证：平面；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面所成锐二面角的大小．
条件①：；
条件②：平面．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

6 . 如图1，菱形的边长为,将其沿折叠形成如图2所示的三棱锥．

(1)证明：三棱锥中，;
(2)当点A在平面的投影为的重心时，求直线与平面所成角的正弦值．

7 . 已知直三棱柱中，且，直线与底面所成角的正弦值为，则（       ）

A．线段上存在点，使得

B．线段上存在点，使得平面平面

C．直三棱柱的体积为

D．点到平面的距离为

8 . 如图，在多面体DABCE中，是等边三角形，，.

(1)求证：；
(2)若二面角为30°，求直线DE与平面ACD所成角的正弦值.

9 . 如图，在直三棱柱中，，为中点．

   

(1)求证：平面；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

10 . 正月十五元宵节，中国民间有观赏花灯的习俗．在2024年元宵节，小明制作了一个“半正多面体”形状的花灯（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．图2是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为2．关于该半正多面体的四个结论：
①棱长为；
②两条棱所在直线异面时，这两条异面直线所成角的大小是60°；
③表面积为；
④外接球的体积为．
其中所有正确结论的序号是（     ）

A．①②

B．①③

C．②④

D．③④