1 . 如图，已知二次函数的图象与直线相交于点A和点B，点A在x轴上，点B在y轴上，抛物线的顶点为P．

(1)求这个二次函数的解析式；
(2)在直线下方的抛物线上是否存在点Q，使得，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2 . 如图，抛物线过点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，交抛物线于点．

(1)求抛物线的表达式及点的坐标；
(2)点是直线上的点，若的面积与的面积相等，求点的坐标；
(3)点在第四象限，且为抛物线上的点，若四边形是梯形，求点的坐标．

3 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A、C两点，直线l与y轴交于点B，抛物线上的动点D在直线l的上方．

(1)请直接写出点A、点C的坐标；
(2)连接、，当三角形的面积最大时，求点D的坐标？
(3)连接、，当三角形以边为直角边时，求点D的坐标？

4 . 综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于点，连接．

(1)求抛物线的解析式；
(2)P是下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作轴于点D．
①求的最大值；
②连接，是否存在点P，使得线段把的面积分成两部分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

5 . 如图1，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接，，．

(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
(2)如图1，当点F的坐标为，过点P作x轴的垂线，交线段于点D，求线段长度的最大值；
(3)如图2，是否存在点F，使得是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

6 . 如图，抛物线与x轴交于，两点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由．

7 . 如图所示，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B．
   
(1)求该函数的表达式及顶点坐标；
(2)将该二次函数图象在点A，B之间的部分（含A，B两点）记为图象W，点Q在图象W上，连接QA，QB，求面积的最大值；
(3)点P（m，n）在该二次函数图象上，当时，该二次函数有最大值2，请根据图象求出m的值；

8 . 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），且点为，与轴交于点，直线经过，两点，点是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，．
   
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)直线的解析式记为，当时，直接写出的取值范围；
(3)设点的横坐标为，四边形的面积为，求的最大值并求出此时点的坐标．

9 . 如图，已知二次函数的图象交轴于点，交y轴于点C．
   
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)点是直线下方抛物线上的一动点，求面积的最大值；
(3)直线（不经过点）分别交直线和抛物线于点，当是等腰三角形时，直接写出的值．

10 . 如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点．
   
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点．
①连接，，当四边形的面积最大时，求此时点的坐标和四边形面积的最大值；
②探究是否存在点使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．