1 . 为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接．

(1)【探究发现】图1中中与的数量关系是         ，位置关系是         ；
(2)【初步应用】如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围；
(3)【探究提升】如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由．

2 . 如图1，正方形和正方形，连接．

(1)[发现]：当正方形绕点旋转，如图2，线段与之间有怎样的关系？请说明理由；
(2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的关系，并说明理由；
(3)[应用]：在(2)情况下，连接点在上方，若，且，，求的长．

3 . 如图，，，．求证：．

4 . 如图1，正方形的边长为，点为正方形边上一动点，过点作于点，将绕点逆时针旋转得，连接．

(1)证明：．
(2)延长交于点．判断四边形的形状，并说明理由；
(3)若，求线段的长度．

5 . 如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．

   

(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接．当的面积等于面积的倍时，求点的坐标；
(3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

6 . 如图，长方形中，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为____________________．
   

7 . （）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，线段之间的关系是        ；（不需要证明）
（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
（）如图，在四边形中，，，分别是边延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

   

8 . 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，连接并延长，交于点E，在上截取．

(1)求证：；
(2)四边形能否为矩形？若能，请添加一个条件；若不能，请说明理由．

9 . 如图：点B、F、C、E在一条直线上，， ，，求证：．

10 . 如图，在菱形中，E、F分别是和上的点，且．求证：．