1 . 和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．

(1)如图①，当点在线段上，且时，求证：；
(2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：；并求当，时的长．

2 . 如图，

(1)如图1，和都是等边三角形，点关于的对称点在边上．
①求证：；
②用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，是直角三角形，，，垂足为，点关于的对称点在边上．求证：．
(3)在（2）的条件下，若，，直接写出的值为________．

3 . 如图，中，，，，、分别是、上的动点，且，连接、，则的最小值为__________．

4 . 如图，四边形是平行四边形，是对角线上的两点，且．
求证：四边形是平行四边形．

5 . 在矩形中，E是上一点，连接，，平分．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，取中点F，连接，，，与交于点G．
①求的度数；
②若，，求的长．

6 . 如图，在平行四边形中，，相交于点，点，在上，且．连接，．

(1)求证：
(2)满足什么条件，连接，时，四边形是菱形，(不需要说明理由)．

7 . 如图，中，点、分别为、的中点，延长到点，使得，连接．求证：

(1)；
(2)四边形是平行四边形．

8 . 在中，，，为的中点，D为线段AM上的动点（不与点，重合），过点作，且，连接．

(1)如图1，当点在线段上时，求证：是的中点；
(2)当位于图2位置时，连接，过点作，交于点．用等式表示线段与的数量关系，并证明．

9 . 如图，在矩形中，点E、F是对角线上两点，．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．