1 . 
是等边三角形，点D为线段
上任意一点，连接
，E为直线
上一点，中点时，点E在边上，连接
，若
，
，求的长；
(2)如图2，若点E为延长线上一点，且
，点F为
延长线一点，且
，猜想线段
，
，之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，在（1）的条件下，M为线段上一点，连接
，将线段绕点E顺时针旋转
，得到线段
，连接
，当
的值最小时，直接写出
的面积．
是等边三角形，点D为线段上任意一点，连接，E为直线上一点，
中点时，点E在边上，连接，若，，求的长；(2)如图2，若点E为
延长线上一点，且，点F为延长线一点，且，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，在（1）的条件下，M为线段
上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，连接，当的值最小时，直接写出的面积．
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2024-04-22更新
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187次组卷
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2卷引用：重庆市潼南区2023-2024学年九年级下学期月考数学试题
2 . 如图，已知D是
内一点，
．求证：
．小红的解答如下：
和
中，
∵
，
∴
．……第一步
∴．……第二步
(1)小红的证明过程从第 步开始出现错误；
(2)请写出你认为正确的证明过程．
内一点，．求证：．小红的解答如下：
和中，∵
，∴
．……第一步∴
．……第二步(1)小红的证明过程从第 步开始出现错误；
(2)请写出你认为正确的证明过程．
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2024-04-22更新
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101次组卷
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2卷引用：贵州省黔南布依族苗族自治州惠水县惠水县第四中学2023-2024学年九年级下学期4月月考数学试题
3 . 如图，在矩形
中，
，
，
是边
上一动点，
是对角线
上一动点，且
，则
的最小值为（ ）
中，，，是边上一动点，是对角线上一动点，且，则的最小值为（ ）
| A．3 | B． | C．4 | D． |
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名校
4 . （1）如图1，正方形中，E、F分别是、
上的动点，且
，
与
交于点G，直接写出与的关系：____________________（不要求证明）
【问题1】
在（1）的条件下，在
上截取
的平分线交于点N，连接
，如图2，求证：
．
【问题2：延伸】
①如图3，已知正方形的边长为1，点E，F分别是边，上的两个动点，且满足，连接，
，则
的最小值为__________．
②如图4，在正方形中，M为
上一点，且
，E、F分别为、上的动点，且
，若
，求
的最小值．
中，E、F分别是、上的动点，且，与交于点G，直接写出与的关系：____________________（不要求证明）
【问题1】
在（1）的条件下，在
上截取的平分线交于点N，连接，如图2，求证：．【问题2：延伸】
①如图3，已知正方形
的边长为1，点E，F分别是边，上的两个动点，且满足，连接，，则的最小值为__________．②如图4，在正方形
中，M为上一点，且，E、F分别为、上的动点，且，若，求的最小值．
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5 . 如图，在矩形中，点E、F是对角线
上两点，
．
是平行四边形；
(2)若
，
，，求
的长．
中，点E、F是对角线上两点，．
是平行四边形；(2)若
，，，求的长．
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2024-04-19更新
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166次组卷
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3卷引用：云南省昭通市巧家县马树中学2023-2024学年九年级下学期4月月考数学试题
6 . 如图，A、D、B、F在一条直线上，
，
，
．
；
(2)连接、
，求证四边形
为平行四边形．
，，．
；(2)连接
、，求证四边形为平行四边形．
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2024-04-19更新
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368次组卷
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15卷引用：江苏省无锡市宜兴市宜兴外国语学校2022-2023学年九年级下学期03月月考数学试题
江苏省无锡市宜兴市宜兴外国语学校2022-2023学年九年级下学期03月月考数学试题广西百色市平果市 2022-2023年九年级教学诊断数学试题2023年江苏省无锡市厚桥中学中考三模数学试题（已下线）专题25平行四边形的性质与判定（优选真题60道）-学易金卷：三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编【全国通用】2023年新疆乌鲁木齐市沙依巴克区中考数学适应性试题2023年山东省淄博市临淄区中考二模数学模拟试题2024年江苏省徐州市睢宁县第二中学中考模拟数学模拟预测题（4月）2024年贵州省黔东南州九年级数学中考模拟测试卷（一）2024年湖北省黄石市黄石港区部分学校中考模拟数学试题2024年山东省淄博市高青县第六中学九年级中考一模数学试题（已下线）专题9.9 平行四边形（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（苏科版）（已下线）9.3 平行四边形（第2课时）(练习)-2022-2023学年八年级数学下册同步精品课堂（苏科版）（已下线）专题 4.32 平行四边形（全章复习与巩固）（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）（已下线）专题4.4 平行四边形的判定定理（知识解读）-2022-2023学年八年级数学下册《同步考点解读·专题训练》（浙教版）（已下线）专题04 平行四边形的判定与性质（七大题型）-【好题汇编】备战2023-2024学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（山东专用）
7 . 如图，平分
，
，
的延长线交于点，若
，则
的度数为______ ．（用含
的代数式表示）．
平分，，的延长线交于点，若，则的度数为的代数式表示）．
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8 . 如图，梯形中，
，垂足分别为
，且
，
，动点P从点C出发，沿
的方向以每秒1个单位长度的速度运动到点D停止，设运动时间为t秒，
，则y与t之间的函数图象大致是（ ）
中，，垂足分别为，且，，动点P从点C出发，沿的方向以每秒1个单位长度的速度运动到点D停止，设运动时间为t秒，，则y与t之间的函数图象大致是（ ）
A． | B． | C． | D． |
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9 . 某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做了如下研究：
【问题发现】
（1）如图①，在等边三角形
中，M是边上任意一点，连接
，以为边作等边三角形
，连接．求证：
；
【变式探究】
（2）如图②，在等腰三角形中，
，M是边上任意一点（不含端点B，C），连接，以为边作等腰三角形，使
，
，连接，试探究
与
的数量关系，并说明理由；
【解决问题】
（3）如图③，在正方形
中，M为边上一点，以为边作正方形
，点N为正方形的中心，连接，，，若正方形的边长为8，
，求正方形的边长．
【问题发现】
（1）如图①，在等边三角形
中，M是边上任意一点，连接，以为边作等边三角形，连接．求证：；【变式探究】
（2）如图②，在等腰三角形
中，，M是边上任意一点（不含端点B，C），连接，以为边作等腰三角形，使，，连接，试探究与的数量关系，并说明理由；【解决问题】
（3）如图③，在正方形
中，M为边上一点，以为边作正方形，点N为正方形的中心，连接，，，若正方形的边长为8，，求正方形的边长．
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2024-04-18更新
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77次组卷
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2卷引用：黑龙江省绥化市望奎县2023-2024学年九年级下学期月考数学试题
10 . 如图1，在菱形中，点P是对角线上一点，连接
和
，在射线上取点E，使得
，射线
交射线于点Q，设
．
，连接，交于点O，求证：
；
(2)【探究】如图3，若
，
，请画出图形，并求
的值；
【归纳】若
，的值为______．（用含k、α的表达式表示）
中，点P是对角线上一点，连接和，在射线上取点E，使得，射线交射线于点Q，设．
，连接，交于点O，求证：；(2)【探究】如图3，若
，，请画出图形，并求的值；【归纳】若
，的值为______．（用含k、α的表达式表示）
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2024-04-17更新
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143次组卷
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6卷引用：江苏省盐城市盐都区鹿鸣路初级中学2022-2023学年九年级下学期月考数学试题
江苏省盐城市盐都区鹿鸣路初级中学2022-2023学年九年级下学期月考数学试题2023年江苏省盐城市初级中学中考二模数学模拟试题2024年江苏省盐城市亭湖区九年级数学中考模拟预测题2024年江苏省盐城市亭湖区中考数学模拟预测题（已下线）查补培优冲刺01 三角形与四边形综合压轴-【查漏补缺】2024年中考数学复习冲刺过关（江苏专用）（已下线）查补重难点06 四边形与特殊四边形-【查漏补缺】2024年中考数学复习冲刺过关（江苏专用）
