1 . 如图，中，，，，、分别是、上的动点，且，连接、，则的最小值为__________．

2 . 如图，在平行四边形中，，相交于点，点，在上，且．连接，．

(1)求证：
(2)满足什么条件，连接，时，四边形是菱形，(不需要说明理由)．

4 . 如图，在中，弦相交于点G，连接．

(1)求证：；
(2)若C为的中点，作于E，求证：．

5 . 如图，在等边三角形中，，，点E是线段上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则长的最小值为________．

6 . 在中，，，为的中点，D为线段AM上的动点（不与点，重合），过点作，且，连接．

(1)如图1，当点在线段上时，求证：是的中点；
(2)当位于图2位置时，连接，过点作，交于点．用等式表示线段与的数量关系，并证明．

7 . 如图，在中，点，点分别为，边的中点，过点作交的延长线于，连接．若，求证：．

8 . 【探索发现】
如图1，是等边三角形，点D为边上一个动点，将绕点A逆时针旋转得到，连接．小明在探索这个问题时发现四边形是菱形．

（1）请帮小明写出证明过程；
（2）直接写出线段之间的数量关系：       ；
【理解运用】
如图2，在中，于点D．将绕点A逆时针旋转得到，延长与交于点G．
（3）判断四边形的形状，并说明理由；
【拓展迁移】
（4）在（3）的前提下，如图3，将沿折叠得到，连接，若，，求的长．

9 . 在中，于点D，以为斜边作，与交于点E，使得，连接，，若，则的长为__________．

10 . 某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做如下研究：

(1)如图①，在中，分别以、为边向外作等腰和等腰，使，，，连结、．试猜想与的大小关系，并说明理由；
(2)如图②，在中，分别以、为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，，连结、．若，，，则线段的长为____________；
(3)如图③，在中，，以为边向外作等边，连结．若，，则的面积为______________．