1 . 已知：如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点为的中点，连接，的延长线交的延长线于点，连接．

(1)求证：；
(2)当满足          时，四边形为正方形．

2 . 和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．

(1)如图①，当点在线段上，且时，求证：；
(2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：；并求当，时的长．

3 . 如图，正方形中，点M在边上，点E是的中点，连接，．

(1)求证：；
(2)将绕点E逆时针旋转，使点B的对应点落在上，连接．当点M在边上运动时（点M不与B，C重合），判断的形状，并说明理由．
(3)在（2）的条件下，已知，当时，求的长．

4 . 如图，在正方形中，点为边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，在，上分别截取，，使，连接，交对角线于点，连接并延长交于点．若，，则的长为 __．

5 . 如图，点C为线段上一点，分别以，为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点F，使，连接，．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若，的延长线恰好经过的中点G，求的长．

6 . 在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转，交延长线于点，以线段，为邻边作矩形．

(1)如图1，连接，求的度数和的值；
(2)如图2，当点在射线上时，求线段的长；
(3)如图3，当时，在平面内有一动点，满足，连接，，求的最小值．

7 . 【问题发现】如图1所示，将绕点A逆时针旋转得，连接、．根据条件填空：①的度数为______；②若，则的值为______；
【类比探究】如图2所示，在正方形中，点E在边上，点F在边上，且满足，求正方形的边长；
【拓展延伸】如图3所示，在四边形中，，，为对角线，且满足，若，请直接写出的值．

8 . （一）猜测探究
在等边中，点是直线上的一个动点，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．
（1）如图1，当点在边上运动时，线段，和的关系是 ___________；
（2）如图2，当点运动到线段的延长线上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（二）拓展应用
如图3，将绕点逆时针旋转得到，连接，交于点，连接，若，，，求线段的长．

9 . 【观察猜想】（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，，并延长到点G，使，连接．若，则，，之间的数量关系为 ___________；
【类比探究】（2）如图2，当点E在线段的延长线上，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】（3）如图3，在中，，D，E在上，，若的面积为12，，请直接写出的面积．

10 . 问题背景：如图1，在正方形中，边长为4．点M，N是边上两点，且，连接，，与相交于点．

   

(1)探索发现：探索线段与的数量关系和位置关系，并证明；
(2)拓展提高：如图2，延长至P，连接，若，求线段的长．