1 . 如图，等边的边长是，、分别是边、上的动点，且，为的中点，连接，当时，的长为____．

2 . 【问题探究】
（1）如图1，已知中，，，，点D是的中点，连接，则的长为________．
（2）如图2，已知中，，P为内一点，且，，请求出的长度；
【问题解决】
（3）如图3，四边形中，，，，，，点P为四边形内一点，且始终有，连接，请问是否存在一点P，使得的值最小？如果存在，求出的最小值；如果不存在，请说明理由．

   

3 . 已知，在和中，，，．

(1)如图1，连接，，判断与的数量关系及位置关系，并说明理由；
(2)如图2，将绕点O旋转，当点D落在边上时，试判断，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)当点A，C，D共线时，请直接写出线段的长．

4 . 综合与实践课上，老师让同学们以“图形的折叠与变换”为主题开展数学活动．

(1)操作判断
操作一：如图1，将矩形纸片折叠，使落在边上，点与点重合，折痕为．
根据以上操作：四边形的形状是　　　　　；
操作二：沿剪开，将四边形折叠，使边都落在四边形的对角线上，折痕为，连接，如图2．
根据以上操作：的度数为　　　　，线段的数量关系是　　　　．
(2)迁移探究
如图3，在上分别取点，使和图中的相等，连接，探究线段之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究下，连接对角线，若图中的的边分别交对角线于点，将纸片沿对角线剪开，如图，若，，直接写出的长．

5 . 如图，与关于点 O 成中心对称，连接．下列结论不一定成立的是（     ）

   

A．

B．

C．

D．

6 . 和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．

(1)如图①，当点在线段上，且时，求证：；
(2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：；并求当，时的长．

7 . 如图，和均为等腰直角三角形，，A，C，D三点在一条直线上，延长交于点F．

   

(1)求证：；
(2)若，，求的长．

8 . 如图，在中，，D，E分别为边，上两个动点，且，连接，，当最小时，的值为_________．

   

9 . 如图所示，在正方形中，点F在边上，射线交于点E，交的延长线于点G．

(1)求证：；
(2)若点H是上的中点，连接和，求证：．