1 . 如图1，四边形是正方形，是边上的一个动点（点与不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接，．我们探究下列图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系：

   

（）猜想如图中线段，线段的数量关系是______ ；线段，的位置关系____
类比探究：
（）将图中的正方形绕着点按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图，如图情形，请你判断（）中得到的结论是否仍然成立，并选取图证明你的判断；
拓展应用：
（）已知，，在正方形绕点旋转的过程中，当点在同一条直线上时，的长度是多少？请直接写出答案

2 . 如图，在边长为5的正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，以，为邻边作矩形，连接．则______，当E点从A点运动到C点时，点F的运动路径长是__________．

   

3 . 在中，是等边三角形，连接．

(1)如图1，当A、B、D三点在同一直线上时，交于点P，且．若，求的长；
(2)如图2，当B、E、C三点在同一直线上时，F是中点，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，，E在直线上运动，将沿翻折得到，连接，G是上一点，且，O是直线上的另一个动点，连接，将沿翻折得到，连接，当最小时，直接写出此时点D到直线的距离．

4 . 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点，在网格中．

(1)画出关于直线MN的对称图形；
(2)画出关于点O的中心对称图形；
(3)在上找一点D使得．

5 . 如图所示，和都是等腰直角三角形，，为边上一点．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．

6 . 如图，是菱形的对角线．

   

(1)作边的垂直平分线，分别与，交于点E，F，连接、（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：点F在线段的垂直平分线上．
证明：四边形是菱形，
，　　．
在和中，

，
　　．
垂直平分，
　　，
．
点F在线段的垂直平分线上（　　）．

7 . 如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，，求证：．

8 . 如图，等边三角形中，点为直线上一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点的对应点为点，点为线段上一个动点，若，则的最小值为______．

9 . 如图，在中，，，是由绕点顺时针旋转得到，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接．

(1)求证：；
(2)若是等腰三角形，直接写出的度数；
(3)当三点共线时，求的值．

10 . 【问题情景】

（1）如图1，正方形中，点E是线段上一点（不与B，C点重合），连接.将绕点E顺时针旋转得到，连接，求的度数．
以下是两名同学通过不同的方法构造全等三角形来解决问题的思路：
小聪：过点作的延长线的垂线；小明：在上截取，使得；
请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程．
【类比探究】
（2）如图2，点E是菱形边上一点（不与B，C点重合），，将绕点E顺时针旋转得到，使得，（）．
①求的度数（用含的代数式表示）；
【学以致用】
②如图3，连接AF与CD相交于点G，当时，若，，则BE的长为_____．