1 . 如图，在菱形中，，点分别是边和对角线上的动点，且，连接相交于点M，点P是边上的一个动点，连接，则的最小值是_______．

   

3 . 图，已知正方形的边长为5，点是对角线上的一点，于点，于点，连接，当时，则的长度是（       ）

A．

B．3

C．

D．

4 . 在中，，，点D为平面内一点．

(1)如图1，若点D在线段上，且，求；
(2)如图2，若点D为内部一点，且，连接，点E为的中点，连接，用等式表示线段，，的数量关系，并证明：
(3)若点D满足，当时，请直接写出的最值．

5 . 如图，四边形是平行四边形，，是对角线上的两点，且．求证：．

6 . 如图，在正方形中，，点E在边上运动，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，则的最小值为___________．

7 . 综合探究：

探究1：如图1，是等腰直角三角形，，点为上一动点，连接，以为边在的右侧作正方形，连接，则线段，之间的位置关系为　　，数量关系为　　．
探究2：如图2，当点运动到线段的延长线上，其余条件不变，探究1中的两条结论是否仍然成立？为什么？（请写出证明过程）
探究3：如图3，如果，，仍然保留为，点在线段上运动，请你判断线段，之间的位置关系，并说明理由．

8 . 已知点O是线段的中点，直线l与直线交于点P，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．

(1)【问题呈现】如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出线段和OD的数量关系是__________；
(2)【类比探究】
如图2，当点P是线段上的任意一点时，线段和的数量关系是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)【拓展提升】
如图3，当点P是线段延长线上的任意一点时：
①请直接写出和的数量关系；
②若，，，请直接写出线段的长．

10 . 综合与实践
问题情境：在数学活动课上，老师对某道习题进行改编：如图1，中，，，作的边上的高，将绕点 逆时针旋转得到．
（1）试判断与之间的数量关系，并说明理由．
猜想与证明：（2）如图2，连接，顺次连接的中点G，H，I，得到，判断的形状，并加以证明；
探索发现：（3）如图3，有同学发现与之间的数量关系是固定不变的，请直接写出与之间的数量关系．