1 . 如图，在正方形中， 点分别在边上， 且， 交于点，交于点，的延长线交的延长线于点，且，连接．若，，则 _____．

2 . 探究与实践
【问题初探】
在数学活动课上，老师给出如下问题：
如图①，在正方形中，点N、M分别在边、上，连接、、．若，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到．
易证：，从而得．

【方法归纳】
有公共顶点，锐角等于较大的角的一半时，通过旋转，可将角进行等量转化，构造全等（相似）的三角形的几何模型．这种解法称为经典之旋转法．
【实践探究】
（1）在用图①结论下，若，，则正方形的边长是多少？
（2）如图②，点M、N分别在正方形边、上，且．点E、F分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图③，在矩形中，，，点M、N分别在边、上，连接、，已知，，求的长．

3 . 如图，在中，，，，，分别是边，上的动点，且，则的最小值为_____．

4 . 已知，如图所示，，，点E、F在上．，连接，求证：

(1)；
(2)四边形是平行四边形．

5 . 如图：

   

(1)如图1，为的角平分线，，点E在线段上，，求证：平分；
(2)如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连接交于点G．若，，，求的长；
(3)如图3，在四边形中，对角线平分，，点E在上，，若，，求的长．

6 . 如图，点D、C为线段BE上一点，且，，．

(1)求证：；
(2)连接，判断四边形的形状，并说明理由．

7 . 如图，在中，过点分别作边、上的高、，，求证：四边形是菱形．

8 . 在和中，固定，将绕点A旋转一周，连接相交于H，经过C 、E、H三点作⊙O．
   
(1)如图1：
①求证：．
②求证：是的直径；
(2)如图2，若，在旋转过程中，连接．若点A恰好是的内心，求的长；

9 . 根据下列题目要求，解答下列问题：

(1)如图1，已知正方形和正方形，连接、．求证；
(2)如图2，在矩形中，，已知矩形矩形，相似比为，，连接、，延长交于M．探究线段与的数量关系．