1 . 已知：如图，在正方形中，点、在上，且．求证：四边形是菱形．

2 . 如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，交于点．

(1)求证：；
(2)求的度数．

3 . 如图，在等腰三角形中，，点D在上，连接，把绕点A逆时针旋转得到，使，连接，若，，则的长为(            )

A．

B．

C．

D．10

4 . 问题提出：
如图1所示，等边内接于，点是上的任意一点，连接．线段满足怎样的数量关系？

尝试解决：
（1）为了解决这个问题，小明给出这样的解题思路：有条件，从而将绕点逆时针旋转交的延长线于点，从而证明，请你完成余下思考，并直接写出答案：的数量关系是______；
自主探索：
（2）如图2所示，把原问题中的“等边”改成“正方形”，其余条件不变，与，有怎样的数量关系？请说明理由．
学以致用：
（3）如图3所示，在中，，连接，以为底作等腰直角三角形．是边上的一点，连接和，且，求长度．（写出解答过程）

5 . 如图，在边长为6的正方形内作，交于点E，交于点F，连接，将绕点A顺时针旋转得到．

(1)求证：；
(2)若，求的长．

6 . 如图，四边形是正方形，M，N分别在上，连接且，我们把这种模型称为“半角模型”，旋转是解决此类模型的常用方法．

(1)补全图形：将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到；
(2)直接写出线段之间的数量关系        ．
(3)根据（2）的结论，写出证明过程；
(4)如果正方形的边长是4，求的周长．

7 . 如图，在中，，，，点D、E分别是，上动点，且，连接，，则的最小值是________．

8 . 如图，在正方形中，点E、F分别为对角线、的三等分点，连接并延长交于点G，连接，．若．则用含的代数式表示为________．

9 . 在中，．

(1)特例证明：如图①，点D，E分别在线段上，，求证：；
(2)探索发现：将图①中的绕点C逆时针旋转（）到图②位置，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)拓展运用：如图③，点D在内部，当时，若，，，求线段的长．

10 . 如图，在边长为的正方形中，点、点分别是上的点，连接，满足．若，则的长为（       ）

   

A．

B．

C．

D．