1 . 如图，在等边三角形中，点在上运动，点在上运动，将点绕着点逆时针旋转得到点，连接、、得到，连接，

(1)当点与点重合，点与的中点重合时，如果边长为，请你在图1的方框内画出符合题意的图形，并求此时的长；
(2)当点与的中点重合时，当点运动到什么位置时，的周长最小？请你在图2的方框内画出符合题意的图形，并求此时与的数量关系；
(3)如图3，求证：．（提示：在答题卡上作图时，请用签字笔描画．）

2 . 如图，在等腰中，，，D在边的延长线上，E在边上，，连接．
观察与思考   如图1，连接，，可以由通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．
迁移与运用   将图1中的绕点A旋转，当直线经过的中点F时，连接，如图2，求证：．
操作与拓展   将图1中的绕点A旋转，当B，D，E三点在同一条直线上，且该直线恰好经过的中点，直接写出的值．

4 . 如图，，，是中的三条弦，且平分．

(1)如图1，若，测量，，的长度，猜想它们之间的数量关系为：______．
(2)如图2，若，求证：；
(3)如图3，若，直接写出，，与角三角函数之间的数量关系．