1 . 阅读下面材料，并解决问题：

(1)如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出       ；
(2)基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，为上的点且，求证：；
(3)能力提升
如图③，在中，，点O为内一点，连接，且，求的值．

2 . 已知：如图在菱形中，点E、F分别在边、上，，的延长线交的延长线于点H．求证：．

3 . 如图，为了测量出A、B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接、，使，然后在的延长线上确定D，使，那么只要测量出的长度也就得到了A、B两点之间的距离，这样测量的依据是（       ）

A．

B．

C．

D．

4 . 已知：如图，在、中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接．

(1)求证：；
(2)试猜想、有何特殊位置关系，并证明．

5 . 问题背景：
如图1：在四边形中，，，．，分别是，上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系．

（1）小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，他的结论应是      ；（并写出证明过程）
探索延伸：
（2）如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且是的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由．

6 . 如图1，在中，°，，点，分别在边，上，，连接，点F，P，G分别为的中点.

(1)如图1中，线段与的数量关系是_____，位置关系是_____；
(2)若把绕点C逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由；
(3)若把绕点C在平面内自由旋转，，请求出面积的最大值.

7 . 定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．

图1                           图2                            图3

(1)如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数．
(2)在（1）的条件下，若的半径为．
①则的长是______．
②如图2，在四边形中，若平分，求证：．
(3)在（1）的条件下，如图，若是的直径，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由．

8 . 如图，在中，，以直角边为直径的交斜边于点D．点E为边的中点，连接并延长交的延长线于点F．

(1)求证：直线是的切线；
(2)若，求阴影部分的面积．

9 . 如图，中，，，E、F分别是，上的点，且，连接交于O．

(1)求证：；
(2)若，延长交的延长线于G，当时，求的长．

10 . 如图，中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G．

(1)求证：；
(2)若，，求的度数．