1 . 如图1，与均为等腰直角三角形，与交于点M，与交于点N．

(1)以点C为中心，将逆时针旋转，画出旋转后的．
(2)在（1）的基础上，证明．
(3)如图2，在四边形中，，，平分，若，，则对角线的长度为多少？

2 . 如图，矩形的对角线相交于点，点，在上，且．

(1)求证：；
(2)若，求矩形的面积．

3 . 如图①，点在线段上点不与，重合，分别以，为边在同侧作等边三角形和等边三角形，连接，交于点．

(1)观察猜想：

①与的数量关系为          ．

②的度数为          ；

(2)数学思考：

如图②，当点在线段外时，中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

(3)拓展应用：

如图③，点为四边形内一点，且满足，，对角线，交于点，，则四边形的面积为          ．

4 . 如图，已知，，，求证：．

5 . 如图，和都是等边三角形，直线，交于点F．

(1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______．
(2)如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明．
(3)若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围．

6 . 如图，在菱形中，是对角线上的两点，且．

(1)求证：；
(2)证明四边形是菱形．

7 . 阅读下面材料，并解决问题：

(1)如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出       ；
(2)基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，为上的点且，求证：；
(3)能力提升
如图③，在中，，点O为内一点，连接，且，求的值．

8 . 已知：如图在菱形中，点E、F分别在边、上，，的延长线交的延长线于点H．求证：．

9 . 如图，在中，，以直角边为直径的交斜边于点D．点E为边的中点，连接并延长交的延长线于点F．

(1)求证：直线是的切线；
(2)若，求阴影部分的面积．

10 . 如图，中，，，E、F分别是，上的点，且，连接交于O．

(1)求证：；
(2)若，延长交的延长线于G，当时，求的长．