1 . 如图， 在中， 对角线，相交于点O， 过点O的直线分别交，于点E ， F ．求证：．

2 . 同学们还记得吗？图①，图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：

【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为________；
【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形边长为8，求四边形的面积；
【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，．在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．

3 . 综合与实践
我们知道，三角形是初中几何学习的基本图形之一，在总复习三角形相关知识的时候，下面是某两个小组的探究内容．
知识储备
由三角形中位线的性质可知，三角形中位线不仅包括了位置关系，也包括了数量关系，也是相似三角形的典型模型之一．
知识应用
（1）如图①，在中，，是边的中点，当时，      ．
问题探究
（2）兴趣小组在探究学习时，在中，作出中线、，与交于点，如图②，得到．请同学们结合所学证明这一结论．
（3）兴趣小组在探究三角形中的线段时，他们将图形做了如下改动，如图③，是边上的中线，是的中点，连接并延长交于点，则一定有．请结合所学证明这一结论．

4 . 【感知】如图①，在中，点为的中点，连接并延长交的延长线于点．求证：点是的中点，点是的中点；
【应用】如图②，在四边形中，，点是的中点，，的延长线相交于点，则_______；
【拓展】如图③，在中，点是的中点，点是上一点，，、相交于点，则_______．

5 . 如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板放在第二象限，，点C坐标为，点A的坐标为，一次函数的图象经过点B、C，反比例函数的图象也经过点B．

(1)求反比例函数的关系式；
(2)直接写出当时， 的解集；
(3)将三角板沿直线向上平移，使点C的对应点与点B重合，此时点A的对应点能否刚好落在反比例函数的图象上？为什么？

6 . 如图，，，，求证：．

7 . 已知，点为线段上一点，，，．

(1)求证：．
(2)若，，求的度数．

8 . 如图，在中，，以为直径的分别与，相交于点，．

(1)求证：；
(2)若，连接，，与相交于点，求证：．

9 . 如图，平分，已知于，于，相交于点，

求证：．