1 . 如图，在四边形中，，，连接．

(1)求证：；
(2)尺规作图：作的垂直平分线，分别交于点（不写作法，保留作图痕迹）；
(3)连接，若，求的度数．

2 . 如图1，在四边形中，，，是边上一点，线段的垂直平分线分别交，于点，，连结，．

(1)求证：．
(2)如图2，连结交于点．若，求证：．
(3)如图3，已知，．若，，求的长．

3 . 已知：是的对角线．

(1)用直尺和圆规作出线段的垂直平分线，与相交于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，，求的周长．

4 . 如图1：在中，

(1)利用尺规作图，做出这个三角形的一条中位线，（要求：点在上，点在上；
(2)直角坐标系的建立，在代数和几何之间架起了一座桥梁，用代数的方法解决几何问题：某数学小组在自主学习时了解了三角形的中位线及相关的定理，在学习了相关知识后，该小组同学深入思考，利用中点坐标公式，给出了三角形中位线定理的另外一种证明方法．该数学小组建立如图2所示的直角坐标系，已知点，分别是，边的中点，不妨设点，点，．请你利用该数学学习小组的思路证明且．（提示：中点坐标公式，，，，，则，中点坐标为，
(3)如图3：在中，，，，延长至点，，连接并延长边于点，若，则是否存在最小值，若存在求出最小值，若不存在，请说明理由．

5 . 如图，在中，过中点的直线分别交，的延长线于点，．

(1)求证：；
(2)连接，若，，的周长为，求的周长．

6 . 如图1，点A、D在在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，平分与y轴交于D点，，，，．

(1)求证：；
(2)如图2，点E为上一点，且，证明：；
(3)过D作于F点，点H为上一动点，点G为上一动点，（如图3），当H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断、、这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．

7 . 如图，，与相交于点，．

(1)求证：垂直平分；
(2)过点作交的延长线于，如果；
①求证：是等边三角形；
②如果、分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点的位置，并思考此时与有怎样的数量关系．

8 . 小惠自编一题：“如图，在四边形中，对角线，交于点O，，，求证：四边形是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．

你赞同谁的证法？若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．

9 . 如图，，，的垂直平分线交于点，交于点．求的度数．

10 . 如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点D，E．

(1)求证：；
(2)连接，直接写出的形状：___________．