1 . 【问题情境】
（）如图，四边形是正方形，点是对角线上一动点，求证：；请你完成证明．
【深入探究】
（）如图，在正方形中，点是对角线上一动点，过点分别作，，垂足分别为、，连接．
①试猜想与的数量关系，并证明你的猜想．
②若，则最小值为________．
【拓展应用】
（）如图，延长、交于点，与交于点，为的中点，连接，则的形状为________．

2 . 如图，在中，，，以为边作正方形，求的最大值______．

4 . 在中，，点是直线上一动点（不与点重合），连接，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，点是的中点，连接．

(1)【问题发现】如图1，当点是的中点时，线段与的数量关系是________，与的位置关系是________；
(2)【猜想论证】如图2，当点在边上且不是的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2中的情况给出证明；若不成立，请说明理由．
(3)【拓展应用】若，其他条件不变，连接．当是等边三角形时，请直接写出的面积为________．

5 . 如图，在中，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，，作直线分别交，于点，，连结．若，，，则的长为（       ）

A．

B．

C．9

D．10

6 . 如图，在中，平分，于点，点是的中点．

             

【探究】
（1）如图1，的延长线与边相交于点，求证：；
（2）如图2，线段、、之间满足的数量关系为_________；
【初步运用】
（3）如图3，中，平分，，垂足为，过作交于点，，，则_________；
【灵活运用】
（4）如图4，中，，，点在上，，，垂足为E，与交于点，线段、之间满足的数量关系为_________．

7 . 如图，一圆形石拱桥的半径为，当水面宽为时，拱顶到水面的距离是______m．

8 . 《义务教育数学课程标准》（2022年）规定，切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”．在学完《切线的性质与判定》后，王老师布置一题：
已知，如图所示，及外一点P．

(1)按要求完成作图步骤并准确标注字母，
尺规作图：作出线段的垂直平分线交于点A；以点A为圆心，为半径作，与交于点B（点B位于直线上侧），连接．
(2)请问（1）中作图得到的是的切线吗？若是，请说明理由
(3)设（1）中所作垂直平分线交于点C，若半径为3，，求的长．

9 . 如图，点D在外，过点D作的切线，A、C为切点，点B在上，连接，连接并延长，交于点F．

(1)求证∶
(2)连接，若，，求的长．

10 . 如图，在中，，，，点P为上一点，将线段绕点P顺时针旋转得线段，点Q在射线上，当的垂直平分线经过直角边中点时，的长为___．