1 . 设数列的前项和为，且，数列满足，其中．
(1)证明为等差数列，求数列的通项公式；
(2)求使不等式对任意正整数都成立的最小实数的值．

2 . 入冬以来，东北成为全国旅游话题的“顶流”．南方游客纷纷北上，体验东北最美的冬天．某景区为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，并在购票平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择A和B两个套餐之一，下表是该景区在购票平台10天销售优惠券情况．

日期t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
销售量y（千张）	1.9	1.98	2.2	2.36	2.43	2.59	2.68	2.76	2.7	0.4

经计算可得：，，．
(1)由于同时在线人数过多，购票平台在第10天出现网络拥堵，导致当天顾客购买的优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求y关于t的回归方程（精确到0.01），并估计第10天的正常销量；
(2)假设每位顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，其中A套餐包含一张优惠券，B套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了n张优惠券，设其概率为，求；
(3)记（2）中所得概率的值构成数列．
①求数列的最值；
②数列收敛的定义：已知数列，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数，使得当时，，（a是一个确定的实数），则称数列收敛于a．根据数列收敛的定义证明数列收敛．
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．

4 . 数列中，.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若，都有恒成立，求的取值范围.

5 . 已知数列的前n项和为，且，令.
(1)求证：为等比数列；
(2)求使取得最大值时的n的值.

6 . 记数列的前项和为.
(1)证明为等比数列，并求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求使不等式成立的的最大值.

7 . 已知数列的前n项和为.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设的前n项和为；
①求；
②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围.

8 . 已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)若的前项和为，证明：．

9 . 已知数列的首项为，前项和为，且.
(1)求证：数列为等差数列.
(2)若数列公差为，当取最小值时，求的值.

10 . 已知数列满足，．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设数列前n项和为，且对任意的恒成立，求k的取值范围．