1 . 已知函数（且）在上最大值和最小值的和为，令.
(1)求实数a的值，并探究是否为定值，若是定值，写出证明过程；若不是定值，请说明理由；
(2)解不等式：.

2 . 已知函数，，满足条件，且.
(1)求的值；
(2)用单调性定义证明：函数在区间上单调递增；
(3)若，求实数的取值范围.

3 . 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”．
(1)写出函数的一个“优美区间”；
(2)求证：函数不存在“优美区间”；
(3)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值．

4 . 已知函数是定义在上的奇函数，其图象经过点，，当时，．
(1)求，的值及在上的解析式
(2)请在区间和中选择一个判断的单调性，并证明．

5 . 已知函数为偶函数，其中是自然对数的底数，.
(1)证明：函数在上单调递增；
(2)函数，在区间上的图象与轴有交点，求的取值范围.

6 . 已知函数是定义在上的函数，恒成立，且
(1)确定函数的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数；
(3)解不等式．

7 . 设函数的定义域是，且对任意正实数x，y都有恒成立，已知，且当时，.
(1)求的值；
(2)判断在区间内的单调性，并给出证明；
(3)解不等式.

8 . 已知函数
(1)证明函数在上为减函数；
(2)当时，解关于的不等式

9 . 设为的三边，求证：方程与有公共根的充要条件是

10 . 已知函数 是奇函数．
(1)求实数的值；并说明函数的单调性（需证明）；
(2)若对任意的实数，不等式恒成立， 求实数的取值范围．