1 . 已知函数（）.
(1)若在上的最小值为，求a的值；
(2)证明：存在唯一零点且满足.

2 . 已知函数是定义域上的奇函数，且．
(1)判断并证明函数在上的单调性；
(2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围．

3 . （1）直接写出下列各式的值．
①
②
③
（2）结合（1）的结果，分析式子的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并证明你的结论．

4 . 已知函数是定义在上的函数，恒成立，且．
(1)确定函数的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数：
(3)解不等式．

5 . 已知函数是定义域为的奇函数.
(1)求的值；
(2)用定义证明在上单调递增.

7 . 对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”．
(1)若集合，，求集合相对的“余弦方差”；
(2)求证：集合，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，并求此定值；
(3)若集合，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、．

8 . 已知函数．
(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)讨论函数在上的单调性，并加以证明．

9 . 已知函数为奇函数．
(1)求a的值；
(2)设函数，
i．证明：有且只有一个零点；
ii．记函数的零点为，证明：．

10 . 如图，在直角坐标系中，设单位圆O与x轴的非负半轴相交于点，以x轴的非负半轴为始边分别作任意角，，它们的终边分别与单位圆相交于点，．

(1)请在图中作出以x轴的非负半轴为始边时角的终边（与单位圆交于点P），并说明AP与的长度关系；
(2)根据第（1）问的发现，证明两角差的余弦公式；
(3)由两角差的余弦公式推导两角差的正弦公式．