1 . 对任意正整数n，记集合
，
．
，
，若对任意
都有
，则记
．
(1)写出集合
和
；
(2)证明：对任意
，存在
，使得；
(3)设集合
．求证：
中的元素个数是完全平方数．
，．，，若对任意都有，则记．(1)写出集合
和；(2)证明：对任意
，存在，使得；(3)设集合
．求证：中的元素个数是完全平方数．
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2023-11-15更新
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131次组卷
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4卷引用：北京市朝阳区2022届高三上学期期末统一检测数学试题
名校
2 . 定义：有限非空数集
的所有元素的“乘积”称为数集的“积数”，例如：集合
，其“积数”
.
（1）若有限数集
，求证：集合
的所有非空子集的“积数”之和
满足
；
（2）根据（1）的结论，对于有限非空数集
（
），记集合A的所有非空子集的“积数”之和，试写出的表达式，并利用“数学归纳法”给予证明；
（3）若有限集
，
①试求由中所有奇数个元素构成的非空子集的“积数”之和
奇数；
②试求由中所有偶数个元素构成的非空子集的“积数”之和偶数.
的所有元素的“乘积”称为数集的“积数”，例如：集合，其“积数”.（1）若有限数集
，求证：集合的所有非空子集的“积数”之和满足；（2）根据（1）的结论，对于有限非空数集
（），记集合A的所有非空子集的“积数”之和，试写出的表达式，并利用“数学归纳法”给予证明；（3）若有限集
，①试求由
中所有奇数个元素构成的非空子集的“积数”之和奇数；②试求由
中所有偶数个元素构成的非空子集的“积数”之和偶数.
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名校
解题方法
3 . 选用恰当的证明方法，证明下列不等式.
（1）已知实数
，
均为正数，求证：
.
（2）已知
，
都是正数，并且
，求证：
.
（1）已知实数
，均为正数，求证：.（2）已知
，都是正数，并且，求证：.
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2021-02-06更新
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543次组卷
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2卷引用：西藏昌都市第一高级中学2022届高三下学期入学考试数学试题
名校
解题方法
4 . 已知正实数，，
满足
．
(1)若
，证明：
．
(2)求
的最大值．
，，满足．(1)若
，证明：．(2)求
的最大值．
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2024-03-08更新
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234次组卷
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3卷引用：四川省雅安市雅安中学等校联考2023-2024学年高三下学期开学考试数学（文）试题
名校
解题方法
5 . 已知
，且
．
(1)证明：
；
(2)求
的最小值．
，且．(1)证明：
；(2)求
的最小值．
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2024-02-23更新
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418次组卷
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5卷引用：内蒙古自治区赤峰第四中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学(理科)试题
6 . 已知
，
为锐角，求证：“
”是“
”成立的充要条件．
，为锐角，求证：“”是“”成立的充要条件．
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名校
解题方法
7 . 已知函数
．
(1)求不等式
的解集；
(2)设函数
的最小值为
，若且
，求证：
．
．(1)求不等式
的解集；(2)设函数
的最小值为，若且，求证：．
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2024-02-05更新
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822次组卷
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7卷引用：陕西省安康中学等校2023-2024学年高三上学期1月大联考文科数学试题（全国乙卷）
名校
8 . 设为正整数，集合
. 任取集合A中的
个元素（可以重复）
，
，
，
，其中
.
(1)若
，
，直接写出
；
(2)对于，，
，证明：
；
(3)对于某个正整数
，若集合A满足：对于A中任意
个元素
，都有
，则称集合A具有性质
. 证明：若
，集合A具有性质
，则
，集合A都具有性质.
为正整数，集合. 任取集合A中的个元素（可以重复），，，，其中.(1)若
，，直接写出；(2)对于
，，，证明：；(3)对于某个正整数
，若集合A满足：对于A中任意个元素，都有，则称集合A具有性质. 证明：若，集合A具有性质，则，集合A都具有性质.
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名校
9 . 置换是代数的基本模型，定义域和值域都是集合
的函数称为次置换.满足对任意
的置换称作恒等置换.所有次置换组成的集合记作.对于
，我们可用列表法表示此置换：
，记
.
(1)若
，计算
；
(2)证明：对任意
，存在
，使得
为恒等置换；
(3)对编号从1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第27张变为第2张，第2张变为第3张，第28张变为第4张，......，依次类推.这样操作最少重复几次就能恢复原来的牌型？请说明理由.
的函数称为次置换.满足对任意的置换称作恒等置换.所有次置换组成的集合记作.对于，我们可用列表法表示此置换：，记.(1)若
，计算；(2)证明：对任意
，存在，使得为恒等置换；(3)对编号从1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第27张变为第2张，第2张变为第3张，第28张变为第4张，......，依次类推.这样操作最少重复几次就能恢复原来的牌型？请说明理由.
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2024-02-27更新
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2134次组卷
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4卷引用：浙江省名校协作体2023-2024学年高三下学期返校考试数学试卷
浙江省名校协作体2023-2024学年高三下学期返校考试数学试卷（已下线）第3套-期初重组模拟卷湖南省湖南省长沙市第一中学2024届高三下学期高考适应性演练(一）数学试题（已下线）数学（九省新高考新结构卷02）
名校
解题方法
10 . 已知函数
.
(1)求
的最小正周期和单调增区间；
(2)求证：当
时，恒有
.
.(1)求
的最小正周期和单调增区间；(2)求证：当
时，恒有.
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2023-06-17更新
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1193次组卷
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8卷引用：海南省海口市第四中学2021届高三上学期期中考试数学试题
海南省海口市第四中学2021届高三上学期期中考试数学试题吉林省长春市第十七中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题（已下线）考点巩固卷10 三角函数的图象及性质（十一大考点）（已下线）第四章三角恒等变换（能力提升）-2020-2021学年高一数学单元测试定心卷（北师大2019版必修第二册）吉林省长春市文理高中2022-2023学年高一上学期第三学程考试数学试题陕西省咸阳市2022-2023学年高一上学期期末数学试题（已下线）模块五 专题3 期末全真拔高模拟3山东省枣庄市市中区辅仁高级中学2023-2024学年高一上学期期末复习模拟测试数学试题
