1 . 已知定义域为的奇函数，且时．
(1)求时的解析式；
(2)求证：在上为增函数；
(3)解关于的不等式．

2 . 已知函数.
(1)若，求的值；
(2)判断函数的奇偶性，并证明你的结论.

4 . 已知(，且；，且)，试探究a与b的关系，并给出证明．

5 . 某中学高一学生组建了数学研究性学习小组．在一次研究活动中，他们定义了一种新运算“”：（为自然对数的底数，），，．进一步研究，发现该运算有许多奇妙的性质，如：，等等．
(1)对任意实数，，，请判断是否成立？若成立请证明；若不成立，请举反例说明．
(2)若（），，，．定义闭区间（）的长度为，若对任意长度为1的区间，存在，，，求正数的最小值．

6 . 设函数为奇函数.
(1)确定的值，并用单调性定义证明该函数单调递增；
(2)若求实数的取值范围.

7 . 已知函数是偶函数．
(1)求的值；
(2)设函数，判断在定义域内的单调性，并给出证明．

8 . 德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中，首次定义了取整函数，表示“不超过的最大整数”，后来我们又把函数称为“高斯函数”，关于下列说法正确的是（       ）

A．对任意，，都有

B．函数的值域为或

C．函数在区间上单调递增

D．

9 . 定义在的奇函数和偶函数满足．
(1)求和的解析式；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)设，证明：存在唯一的实数，使，并比较与的大小．

10 . 求满足下列条件的各式的值
(1)若，求的值；
(2)设，求证：.