1 . 若函数在定义域区间上连续,对任意恒有,则称函数是区间上的上凸函数,若恒有,则称函数是区间上的下凸函数,当且仅当时等号成立,这个性质称为函数的凹凸性.上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n个点,即若是上凸函数,则对任意恒有,若是下凸函数,则对任意恒有,当且仅当时等号成立.应用以上知识解决下列问题:
(1)判断函数(,),,在定义域上是上凸函数还是下凸函数;(只写出结论,不需证明)
(2)利用(1)中的结论,在中,求的最大值;
(3)证明函数是上凸函数.
(1)判断函数(,),,在定义域上是上凸函数还是下凸函数;(只写出结论,不需证明)
(2)利用(1)中的结论,在中,求的最大值;
(3)证明函数是上凸函数.
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2 . 在中,内角的对边分别为,且.
(1)证明:;
(2)若,求的面积.
(1)证明:;
(2)若,求的面积.
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3 . 已知斜三角形.
(1)借助正切和角公式证明:.
并充分利用你所证结论,在①②中选择一个求值:
①,
②;
(2)若,求的最小值.
(1)借助正切和角公式证明:.
并充分利用你所证结论,在①②中选择一个求值:
①,
②;
(2)若,求的最小值.
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4 . 如图,在正方形ABCD中,点E是AB的中点,点F,G分别是AD,BC的二等分点.(1)EF,EG有什么位置关系?用向量方法证明你的结论;
(2)已知对任意平面向量,把绕其起点沿逆时针旋转角得到向量,叫做把点N绕点M沿逆时针方向旋转角得到点P.已知正方形ABCD中,,点,把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P,求点P的坐标.
(2)已知对任意平面向量,把绕其起点沿逆时针旋转角得到向量,叫做把点N绕点M沿逆时针方向旋转角得到点P.已知正方形ABCD中,,点,把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P,求点P的坐标.
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5 . 在中,为上靠近点的三等分点,设.
(1)用分别表示;
(2)证明:三点共线.
(1)用分别表示;
(2)证明:三点共线.
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6 . 已知,.
(1)求和的值;
(2)若向量,,证明:.
(1)求和的值;
(2)若向量,,证明:.
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7 . 如图,在中,,点分别是的中点.设.(1)用表示;
(2)如果,请判断的位置关系?用向量方法证明你的结论.
(2)如果,请判断的位置关系?用向量方法证明你的结论.
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8 . 设.
(1)当时,用函数单调性的定义证明:函数在区间上是严格增函数.
(2)①根据a的不同取值,讨论函数在区间上零点的个数;
②若函数在区间(k为正整数)上恰有7个零点,求k的最小值及此时a的取值范围.
(1)当时,用函数单调性的定义证明:函数在区间上是严格增函数.
(2)①根据a的不同取值,讨论函数在区间上零点的个数;
②若函数在区间(k为正整数)上恰有7个零点,求k的最小值及此时a的取值范围.
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9 . 设,是不共线的两个向量.
(1)若,,,求证:A,B,D三点共线;
(2)若与共线,求实数的值.
(1)若,,,求证:A,B,D三点共线;
(2)若与共线,求实数的值.
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10 . 根据要求完成下列问题:
(1)设两个非零向量,不共线,如果,,,证明A,B,D三点共线;
(2)设,是两个不共线的向量,,已知,,,若恒成立,求k的值.
(1)设两个非零向量,不共线,如果,,,证明A,B,D三点共线;
(2)设,是两个不共线的向量,,已知,,,若恒成立,求k的值.
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