1 . 如图，已知曲线及曲线．从上的点作直线平行于轴，交曲线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点，点的横坐标构成数列．

(1)试求与之间的关系，并证明：；
(2)若，求的通项公式．

3 . 已知数列是公比大于0的等比数列，，.数列满足：（）.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：是等比数列；
(3)证明：.

4 . 已知数列的前n项和为，若，．
(1)记判断是否为等差数列，若是，给出证明；若不是，请说明理由．
(2)记，的前n项和为，求．

5 . 甲、乙、丙三个小学生相互抛沙包，第一次由甲抛出，每次抛出时，抛沙包者等可能的将沙包抛给另外两个人中的任何一个，设第（）次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为，在丙手中的方法数为.
(1)求证：数列为等比数列，并求出的通项；
(2)求证：当n为偶数时，.

6 . 已知为数列的前项和，是公差为1的等差数列．
(1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)若，数列的最大项为，求的值．

7 . 已知数列满足：．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，求数列的前100项和．

8 . 已知为正整数，数列：，记．对于数列，总有，，则称数列为项数列．若数列A：，：，均为项数列，定义数列：，其中，．
(1)已知数列A：1，0，1，：0，1，1，直接写出和的值；
(2)若数列A，均为项数列，证明：.

9 . 已知数列满足，，为参数且.
(1)求、的值（用表示），并探究是否存在使得数列成等比数列，若存在，求的值，无需证明.
(2)当时，求的前项和；试给出前项和表达式.

10 . 已知数列满足且．
(1)若为等差数列，求其前项和；
(2)若存在，使得对任意的，恒成立，证明是等差数列．