解题方法
1 . 广州小蛮腰是广州市的地标性建筑，奇妙的曲线造型让建筑充满了美感，数学上用曲率表示曲线的弯曲程度.设函数
的导函数为
的导函数记为
，则函数的图象在
的曲率
.
(1)求椭圆
在
处的曲率；
(2)证明：函数
图象的曲率
的极大值点位于区间
.
的导函数为的导函数记为，则函数的图象在的曲率.(1)求椭圆
在处的曲率；(2)证明：函数
图象的曲率的极大值点位于区间.
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2 . 如图， 在平面直角坐标系
中，双曲线
的上下焦点分别为
，
. 已知点
和
都在双曲线上， 其中
为双曲线的离心率.
(2)设
是双曲线上位于
轴右方的两点，且直线
与直线
平行，
与
交于点
.
(i) 若
，求直线的斜率；
(ii) 求证：
是定值.
中，双曲线的上下焦点分别为，. 已知点和都在双曲线上， 其中为双曲线的离心率.
(2)设
是双曲线上位于轴右方的两点，且直线与直线平行，与交于点.(i) 若
，求直线的斜率；(ii) 求证：
是定值.
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3 . 阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用．如图，在平面直角坐标系xOy中，螺线与坐标轴依次交于点
，并按这样的规律继续下去．
．
(2)求证：不存在正整数
，使得三角形
的面积为2022;
(3)求证：对于任意正整数，三角形为锐角三角形．
，并按这样的规律继续下去．
．(2)求证：不存在正整数
，使得三角形的面积为2022;(3)求证：对于任意正整数
，三角形为锐角三角形．
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4 . 已知：
，
，
，那么
三者的关系是（ ）
，，，那么三者的关系是（ ）A． | B． | C． | D． |
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5 . 已知函数
，则（ ）
，则（ ）| A． | B． |
C． | D． |
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6 . 在平面直角坐标系中，点
到点
的距离与到直线
的距离之比为
，记的轨迹为曲线
，直线
交右支于
，
两点，直线
交右支于
，
两点，
．
(1)求的标准方程；
(2)证明：
；
(3)若直线过点
，直线过点
，记
，
的中点分别为，
，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为
，
，求四边形
面积的取值范围．
中，点到点的距离与到直线的距离之比为，记的轨迹为曲线，直线交右支于，两点，直线交右支于，两点，．(1)求
的标准方程；(2)证明：
；(3)若直线
过点，直线过点，记，的中点分别为，，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，求四边形面积的取值范围．
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2024-08-20更新
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737次组卷
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2卷引用：广东省广州市2025届普通高中毕业班摸底考试数学试题
解题方法
7 . 已知圆锥的轴截面是底角为θ的等腰三角形，圆锥的底面半径为
，圆锥内有一个内接圆柱，则圆柱体积的最大值为（ ）
，圆锥内有一个内接圆柱，则圆柱体积的最大值为（ ）A． | B． | C． | D． |
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8 . 已知函数
.
(1)若
，求函数
的极值；
(2)若曲线
与曲线
有唯一的交点，求实数的取值范围.
.(1)若
，求函数的极值；(2)若曲线
与曲线有唯一的交点，求实数的取值范围.
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名校
解题方法
9 . 设函数
且
，设
.
(1)证明: 函数
在区间
上存在唯一的极小值点；
(2)证明:
；
(3)已知
且
，证明:
.
且，设.(1)证明: 函数
在区间上存在唯一的极小值点；(2)证明:
；(3)已知
且，证明:.
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10 . 已知双曲线：
的虚轴长为2，过的右焦点且不与
轴垂直的直线
与的右支交于，两点，且当直线的倾斜角为
时，
.
(1)求的标准方程；
(2)过点，分别作直线
的垂线，垂足分别为
，
，若直线
，
的交点恒在轴上，求
的值.
：的虚轴长为2，过的右焦点且不与轴垂直的直线与的右支交于，两点，且当直线的倾斜角为时，.(1)求
的标准方程；(2)过点
，分别作直线的垂线，垂足分别为，，若直线，的交点恒在轴上，求的值.
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