1 . 如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上投影，M为上一点，且.

(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
(2)求过点且斜率为的直线被C所截线段的长度.

2 . 若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)不过原点O的直线与椭圆E交于A、B两点，求面积的最大值以及此时直线l的方程．

3 . 已知椭圆：（）上任意一点到两个焦点的距离之和为，且离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作直线交椭圆于，两点，点为线段的中点，求直线的方程．

4 . 已知函数.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若，证明：在上只有一个零点.

5 . 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当，证明：.

6 . 已知椭圆的两焦点为、，为椭圆上一点，且是与的等差中项.
(1)求此椭圆方程；
(2)若点满足，求的面积.

7 . 已知双曲线：与双曲线的渐近线相同，且经过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知双曲线的左､右焦点分别为，，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于两点，求的面积.

8 . 已知函数．
(1)若是的极值点，求a的值；
(2)若，证明：．

9 . 已知函数，其中，设为的导函数.
(1)若，证明：；
(2)若时，恒成立，求的取值范围.

10 . 知椭圆E：的左右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为

(1)求椭圆E的方程；
(2)如图，下顶点为A，过点作一条与y轴不重合的直线.该直线交椭圆E于C，D两点.直线AD，AC分别交x轴于点H，求证：与的面积之积为定值，并求出该定值.