1 . 如图，已知圆：和点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和相交于点，记点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程；
(2)设点是曲线与轴正半轴的交点，过点的直线交曲线于、两点，直线，的斜率分别是，，证明：为定值.

2 . 已知函数．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)当时，证明：不等式在上恒成立．

3 . 已知函数.
(1)若，求的取值范围；
(2)若函数有两个不同的零点，证明：.

4 . 已知椭圆的焦距为4，是椭圆上的点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，，是椭圆上不关于坐标轴对称的两点（即且），若，证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.

5 . 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当，证明：.

6 . 已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：当时，．

7 . 如图，已知椭圆长轴长为4，离心率．

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点为椭圆C上一点，设是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），直线与直线相交于点M，记的斜率分别为，求证：．

8 . 已知函数.
(1)判断函数在区间上的单调性，并说明理由；
(2)求证：函数在内有且只有一个极值点；
(3)求函数在区间上的最小值.

9 . 已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，证明：对任意的，．

10 . 已知函数，
(1)若，求的极值；
(2)讨论的单调区间；
(3)求证：当时，.