1 . 已知，函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设是的导数.证明：
（i）在上单调递增；
（ii）当时，若，则.

2 . 设函数，其中为自然对数的底数.
（1）求的单调区间；
（2）若恒成立，求证：.

3 . 已知函数在点处的切线方程与轴平行．
(1)求函数的极值；
(2)若函数有两个不同的零点，．
①求的取值范围；
②证明：．

4 . 已知函数，.
（1）当时，求的极大值；
（2）求的单调区间；
（3）当时，设函数，若实数满足：且，，求证：.

5 . 已知，.
(1)求函数的单调区间；
(2)对一切，恒成立，求实数a的取值范围；
(3)证明：对一切，都有成立.

6 . 已知
（1），若对任意恒成立，求实数的取值范围；
（2）令，证明：对任意.

7 . 已知函数.
（1）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围.
（2）当时，求证：.

8 . 已知函数，（其中为自然对数的底数）
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）若实数，满足，，求证：.

9 . 过抛物线上一定点作两条直线分别交抛物线于，，
（1）若横坐标为的点到焦点的距离为1，求抛物线方程；
（2）若为抛物线的顶点，，试证明：过、两点的直线必过定点；
（3）当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线的斜率是非零常数.

10 . 若椭圆的方程为，点分别是椭圆上关于原点对称的两点，点是椭圆上不同于点和的任意一点．若直与的斜率都存在，分别记为，那么与之积是与点无关的定值．试对双曲线写出具有类似特点的正确结论，并加以证明．