1 . 已知圆O：.
(1)求证：过圆O上点的切线方程为.类比前面的结论，写出过椭圆C：上一点的切线方程（不用证明）.
(2)已知椭圆C：，Q为直线上任一点，过点Q作椭圆C的切线，切点分别为A､B，利用（1）的结论，求证：直线AB恒过定点.

2 . 已知函数，.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）是否存在正数的值使得对任意 恒成立？证明你的结论.
（3）求证：在上有且仅有两个零点.

3 . 如图，已知椭圆，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，C，D在椭圆上，点D在第一象限.CB的延长线交椭圆于点E，直线AE与椭圆､y轴分别交于点F､G，直线CG交椭圆于点H，DA的延长线交FH于点M.

（1）设直线AE､CG的斜率分别为､，求证：为定值；
（2）求直线FH的斜率k的最小值；
（3）证明：动点M在一个定曲线上运动.

4 . 已知抛物线，过焦点F的直线l与抛物线交于S，T，且.

（1）求抛物线C的方程；
（2）设点P是x轴下方（不含x轴）一点，抛物线C上存在不同的两点A，B满足，其中为常数，且两点D，E均在C上，弦AB的中点为M.
①若点P坐标为，抛物线过点A，B的切线的交点为N，证明：点N在直线MP上；
②若直线PM交抛物线于点Q，求证；为定值（定值用表示）.

5 . 已知抛物线和圆交于两点,且，其中O为坐标原点.
(1)求的方程.
(2)过的焦点且不与坐标轴平行的直线与交于两点，的中点为，的准线为，且，垂足为.证明:直线的斜率之积为定值，并求该定值.

6 . 已知抛物线与直线相交于A、B两点．
(1)求证：；
(2)当的面积等于时，求k的值．

7 . 已知动圆P过点且与直线相切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若A，B是曲线C上的两个点，且直线AB过的外心，其中O为坐标原点，求证:直线过定点.

8 . 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点且斜率存在的直线交抛物线于不同的两点，设为坐标原点，直线的斜率分别为，求证：为定值．

9 . 已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若=0，求的值；
(3)证明：.

10 . 已知椭圆：的右顶点与抛物线：的焦点重合，椭圆的离心率为，过椭圆的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为.
(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)过点的直线l与椭圆交于不同的两点，点关于x轴的对称点为，证明：当直线绕点旋转时，直线经过定点.