1 . 在上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，点为的中点.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设为直线上任一点，轨迹与轴的两个交点分别为，且三点不共线，直线与轨迹的另一交点分别为点，求证：直段过定点.

2 . 已知椭圆C：过点（－2，0）且离心率为．若斜率为k（）且不过原点的直线l交椭圆于A、B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于G、交直线于点D（－2，m），且，过O作直线AB的垂线，垂足为Q．（其中：点O为坐标原点）

(1)求椭圆C的方程．
(2)证明：存在点P，使|PQ|为定值．

3 . 已知，，为平面上一动点，且满足，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程．
(2)若，过点的动直线：交曲线于，（不同于，）两点，直线与直线斜率分别记为，.
①求的范围.
②证明：为定值，并计算定值的范围．

5 . 已知直线l：y＝x﹣1与椭圆C：1（a＞1，b＞0）相交于P，Q两点M，．
(1)证明椭圆过定点T（x₀，y₀），并求出的值；
(2)求弦长|PQ|的取值范围．

6 . 已知椭圆经过点，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的上顶点为A，经过点（-1，-1），且斜率为k的直线与椭圆C交于不同两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值

7 . 设函数，其中是自然对数的底数，.
(1)若，求在点处的切线方程；
(2)若，证明：恰有两个零点.

8 . 已知抛物线， 点是抛物线上的点．
(1)求抛物线的方程及的值；
(2)直线与抛物线交于 两点，，且，求的最小值并证明直线过定点．

9 . 已知函数和.
（1）当时，求方程的实根；
（2）若对任意的，函数的图象总在函数的图象的上方，求实数的取值范围；
（3）求证：，.

10 . 已知抛物线，过焦点的直线l交抛物线C于M、N两点，且线段中点的纵坐标为2．
（1）求直线l的方程；
（2）设x轴上关于y轴对称的两点P、Q，（其中P在Q的右侧），过P的任意一条直线交抛物线C于A、B两点，求证：始终被x轴平分．