1 . 已知点，直线：，动点满足到点的距离与到直线的距离之比为．
（1）求动点的轨迹的方程．
（2）经过点的直线与曲线交于，两点，直线、的斜率分别为，，求证：为定值．

2 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，分别为的上顶点与右顶点，的周长为6，且．
（1）求的标准方程；
（2）若直线与交于，两点，记点关于轴的对称点为，求证：直线过定点．

3 . 已知函数，.
（1）求函数的极值；
（2）证明：有且只有两条直线与函数，的图象都相切.

4 . 已知等轴双曲线的顶点，分别是椭圆的左、右焦点，且是椭圆与双曲线某个交点的横坐标．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于，两点，以线段为直径的圆过椭圆的上顶点，求证：直线恒过定点．

5 . 已知抛物线的焦点为F，准线为l.设过点F且不与x轴平行的直线m与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为M，过M作直线垂直于l，垂足为N，直线MN与抛物线C交于点P.
（1）求证：点P是线段MN的中点.
（2）若抛物线C在点P处的切线与y轴交于点Q，问是否存在直线m，使得四边形MPQF是有一个内角为的菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由.

6 . 已知函数.
（1）判断的单调性，并比较与的大小；
（2）若函数有两个不同的零点，，证明：

7 . 已知函数（）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，令，若函数的图象与直线相交于不同的两点，，设，（）分别为点，的横坐标，求证：．

8 . 已知函数，其中是自然对数的底数
（1）若曲线与直线有交点，求a的最小值；
（2）①设，问是否存在最大整数k，使得对任意正数x都成立？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由；
②若曲线与直线有两个不同的交点，求证：.

9 . 已知函数．
（1）求函数图象在处的切线方程．
（2）证明：．

10 . 已知函数的图象在点处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）当时，证明：对恒成立.