1 . 已知双曲线的实轴长为，左右两个顶点分别为，经过点的直线交双曲线的右支于两点，且在轴上方，当轴时，.
(1)求双曲线方程.
(2)求证：直线的斜率之比为定值.

2 . 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，在菱形中，，，平面平面，，分别是线段、的中点.
   
(1)求证：平面；
(2)若点为棱的中点，求点到平面的距离；
(3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.

3 . 已知抛物线，设为直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为.
   
(1)证明：动直线恒过定点；
(2)如图，设与（1）中的定点的连线交抛物线于两点，证明：

4 . 如图，在四棱锥中，平面，且，，，，，为的中点．
   
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

5 . 如图，在梯形ABCD中，，将沿着BD折起到的位置，使得平面平面．

(1)证明：；
(2)点M满足，若二面角的余弦值为，求．

6 . 如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，，M为BC的中点.
   
(1)求证：平面PDB；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.

7 . 如图，为圆柱底面的直径，是圆柱底面的内接正三角形，和为圆柱的两条母线，且．

(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的正弦值．

8 . 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为的中点．
   
(1)证明：；
(2)求二面角的平面角的余弦值．

9 . 如图，四棱柱的底面ABCD为直角梯形，，，，直线与直线CD所成的角取得最大值．点M为的中点，且．

(1)证明：平面平面；
(2)若钝二面角的余弦值为，当时，求三棱锥的体积．

10 . 如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，，点在上，．

   

(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面；