1 . 设是定义域均为的三个函数.是的一个子集.若对任意，点与点都关于点对称，则称是关于的“对称函数”.
(1)若和是关于的“对称函数”，求；
(2)已知是关于的“对称函数”.且对任意，存在，使得，求实数的取值范围；
(3)证明：对任意，存在唯一的，使得和是关于的“对称函数”.

3 . 已知关于的函数，与在区间上恒有，则称满足性质.
(1)若，，，，判断是否满足性质，并说明理由；
(2)若，，且，求的值并说明理由；
(3)若，，，，试证：是满足性质的必要条件.

4 . 已知，，.
(1)若，，写出曲线的一条水平切线的方程；
(2)若，使得，，，形成等差数列，证明：；
(3)若存在，使得函数有唯一零点，求的取值范围．

5 . 设是定义在上的奇函数.若是严格减函数，则称为“函数”.
(1)分别判断和是否为函数，并说明理由；
(2)若是函数，求正数的取值范围；
(3)已知奇函数及其导函数定义域均为.判断“在上严格减”是“为函数”的什么条件，并说明理由.

7 . 设函数，其中a为常数．对于给定的一组有序实数，若对任意、，都有，则称为的“和谐数组”．
(1)若，判断数组是否为的“和谐数组”，并说明理由；
(2)若，求函数的极值点；
(3)证明：若为的“和谐数组”，则对任意，都有．

9 . 已知实数，，．
(1)求；
(2)若对一切成立，求的最小值；
(3)证明：当正整数时，．

10 . 已知定义在上的函数的导函数为，若对任意恒成立，则称函数为“线性控制函数”.
(1)判断函数和是否为“线性控制函数”，并说明理由；
(2)若函数为“线性控制函数”，且在上严格增，设为函数图像上互异的两点，设直线的斜率为，判断命题“”的真假，并说明理由；
(3)若函数为“线性控制函数”，且是以为周期的周期函数，证明：对任意都有.