1 . 设非负实数
满足
.，求
的最大值和最小值.
满足.，求的最大值和最小值.
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解题方法
2 . 若
是棱长为
的正四面体
内一点，以在四面体的四个面上的射影为顶点的新四面体的体积的最大值为________ ．
是棱长为的正四面体内一点，以在四面体的四个面上的射影为顶点的新四面体的体积的最大值为
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3 . 在
中，
的平分线交
于
，且
，求的面积.
中，的平分线交于，且，求的面积.
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4 . 设
.在
的方格表的每个小方格中填入区间
中的一个实数.设第
行的总和为
，第列的总和为
，
.求
的最大值（答案用含
的式子表示）.
.在的方格表的每个小方格中填入区间中的一个实数.设第行的总和为，第列的总和为，.求的最大值（答案用含的式子表示）.
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5 . 八张标有
，
，
，
，
，
，
，
的正方形卡片构成下图.现逐一取走这些卡片，要求每次取走一张卡片时，该卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边（例如可按，，，，，，，的次序取走卡片，但不可按，，，，，，，的次序取走卡片），则取走这八张卡片的不同次序的数目为______ .
，，，，，，，的正方形卡片构成下图.现逐一取走这些卡片，要求每次取走一张卡片时，该卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边（例如可按，，，，，，，的次序取走卡片，但不可按，，，，，，，的次序取走卡片），则取走这八张卡片的不同次序的数目为
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6 . 如图，
是以
为直径的固定的半圆弧，
是经过点及上另一个定点
的定圆，且的圆心位于
内.设
是的弧
（不含端点）上的动点，，是上的两个动点，满足：在线段
上，，位于直线的异侧，且
.记
的外心为.证明：
(1)点在
的外接圆上；
(2)为定点.
是以为直径的固定的半圆弧，是经过点及上另一个定点的定圆，且的圆心位于内.设是的弧（不含端点）上的动点，，是上的两个动点，满足：在线段上，，位于直线的异侧，且.记的外心为.证明： (1)点
在的外接圆上；(2)
为定点.
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7 . 正整数
称为“好数”，如果对任意不同于的正整数
，均有
，这里，
表示实数
的小数部分.证明：存在无穷多个两两互素的合数均为好数.
称为“好数”，如果对任意不同于的正整数，均有，这里，表示实数的小数部分.证明：存在无穷多个两两互素的合数均为好数.
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8 . 求出所有满足下面要求的不小于1的实数
：对任意，
，总存在
，
，使得
.
：对任意，，总存在，，使得.
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9 . 设复数
（i为虚数单位），若正整数满足
，则的最大值为______ .
（i为虚数单位），若正整数满足，则的最大值为
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10 . 已知三棱柱
的9条棱长均相等.记底面
所在平面为
.若的另外四个面（即面
，
，
，
）在上投影的面积从小到大重排后依次为
，
，
，
，求的体积.
的9条棱长均相等.记底面所在平面为.若的另外四个面（即面，，，）在上投影的面积从小到大重排后依次为，，，，求的体积.
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