1 . 在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是动点，且直线与的斜率之积等于.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设是曲线的左焦点，过点的直线与曲线相交于，两点，过，分别作直线的垂线与轴相交于，两点.若，求此时直线的斜率.

2 . 已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．

3 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆C上一点N到距离的最大值为4，过点的直线交椭圆C于点A、B.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围.

4 . 已知椭圆：的上顶点为､右顶点为，为坐标原点，的面积为1，直线被椭圆所截得的线段的长度为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点M作两条斜率之积为的直线分别与椭圆交于不同两点，，求证直线过定点，并求出定点坐标.

5 . 在直角坐标系xOy中，椭圆的上顶点为B，右焦点为F，原点O到直线BF的距离为.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）设直线l与圆相切，且与C交于M，N两点，若的最大值为2，求椭圆C的方程.

6 . 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，直线被椭圆C截得的线段长为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过原点的直线与椭圆C交于､两点(A､B不与椭圆C的顶点重合)，点在椭圆C上，且，直线BD与x轴交于M点，设直线BD､AM的斜率分别为､，证明存在常数使得，并求出的值.

7 . 已知中心在坐标原点的椭圆E的右焦点与抛物线的焦点重合，椭圆E与抛物线C的准线交于A、B两点.若，则椭圆E的短轴长为__________.

8 . 已知椭圆：，点
（1）证明：点在椭圆上；
（2）求点到直线的距离的取值范围；
（3）直线过椭圆的右焦点，交椭圆于、两点，若线段长度为，求直线的方程.

9 . 已知椭圆C的中心在坐标原点，左顶点，离心率，F为右焦点，过焦点F的直线交椭圆C于P､Q两个不同的点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）当时，求直线PQ的方程；
（3）设线段PQ的中点在直线上，求直线PQ的方程.

10 . 已知曲线是平面内到和的距离之和为的点的轨迹．
（1）求曲线的方程；
（2）斜率为1的直线与曲线相交于点，，弦长，求直线的方程；
（3）求斜率为1的直线交曲线的弦的中点的轨迹方程．